3369.

179

TEKST ZADATKA

Odrediti proste brojeve p, p , q q i r r takve da je 2p+3q+4r=302. 2p + 3q + 4r = 302 .

REŠENJE ZADATKA

Analizirajmo parnost sabiraka u datoj jednačini. Brojevi 2p, 2p , 4r 4r i 302 302 su parni brojevi, jer su deljivi sa 2.

Izrazimo 3q 3q preko ostalih članova jednačine.

3q=302−2p−4r3q = 302 - 2p - 4r

Izdvojimo broj 2 ispred zagrade na desnoj strani.

3q=2(151−p−2r)3q = 2(151 - p - 2r)

Pošto je desna strana jednačine deljiva sa 2 (paran broj), mora biti i leva strana. Kako je 3 neparan broj, sledi da q q mora biti paran broj.

Jedini paran prost broj je 2, pa zaključujemo da je q=2. q = 2 .

q=2q = 2

Zamenimo vrednost q=2 q = 2 u početnu jednačinu.

2p+3⋅2+4r=3022p + 3 \cdot 2 + 4r = 302

Sredimo dobijenu jednačinu prebacivanjem poznatih vrednosti na desnu stranu.

2p+4r=302−6  ⟹  2p+4r=2962p + 4r = 302 - 6 \implies 2p + 4r = 296

Podelimo celu jednačinu sa 2 kako bismo je pojednostavili.

p+2r=148p + 2r = 148

Ponovo analiziramo parnost. Brojevi 2r 2r i 148 148 su parni. Izrazimo p p preko ostalih članova.

p=148−2r=2(74−r)p = 148 - 2r = 2(74 - r)

Desna strana je deljiva sa 2, što znači da i p p mora biti paran broj. Pošto je p p prost broj, jedina mogućnost je da bude jednak 2.

p=2p = 2

Zamenimo p=2 p = 2 u jednačinu p+2r=148 p + 2r = 148 da bismo izračunali r. r .

2+2r=1482 + 2r = 148

Rešimo jednačinu po r. r .

2r=146  ⟹  r=732r = 146 \implies r = 73

Proverimo da li je 73 prost broj. Prosti brojevi manji od 73≈8.5 \sqrt{73} \approx 8.5 su 2, 3, 5 i 7. Broj 73 nije deljiv nijednim od njih, pa zaključujemo da jeste prost broj.

Konačno rešenje su traženi prosti brojevi.

(p,q,r)=(2,2,73)(p, q, r) = (2, 2, 73)