3371.

177

TEKST ZADATKA

Odrediti sve proste brojeve p p i q q za koje važi 3p+2q=52. 3p + 2q = 52 .

REŠENJE ZADATKA

Zapišimo datu jednačinu i izrazimo 3p. 3p .

3p=52−2q3p = 52 - 2q

Izvučimo broj 2 2 ispred zagrade na desnoj strani jednačine kako bismo analizirali deljivost.

3p=2(26−q)3p = 2(26 - q)

Desna strana jednačine je deljiva sa 2 2 (parna je), pa mora biti deljiva sa 2 2 i leva strana, odnosno izraz 3p. 3p .

2∣3p2 \mid 3p

Kako broj 3 3 nije paran, da bi proizvod 3p 3p bio paran, broj p p mora biti deljiv sa 2. 2 .

2∣p2 \mid p

Prema uslovu zadatka, p p je prost broj. Jedini paran prost broj je 2. 2 .

p=2p = 2

Zamenimo vrednost p=2 p = 2 u početnu jednačinu kako bismo odredili q. q .

3⋅2+2q=523 \cdot 2 + 2q = 52

Pomnožimo brojeve na levoj strani.

6+2q=526 + 2q = 52

Prebacimo 6 6 na desnu stranu jednačine.

2q=52−62q = 52 - 6

Oduzmemo brojeve na desnoj strani.

2q=462q = 46

Podelimo jednačinu sa 2 2 kako bismo dobili q. q .

q=23q = 23

Proverimo da li je dobijeni broj prost. Broj 23 23 jeste prost broj, pa on zadovoljava uslove zadatka. Konačno rešenje je:

(p,q)=(2,23)(p, q) = (2, 23)