1349.

158.đ

TEKST ZADATKA

Izračunaj jednačinu:

2x+1x−1+x−12x+1=5x+4(x−1)(2x+1)\frac{2x + 1}{x - 1} + \frac{x - 1}{2x + 1} = \frac{5x + 4}{(x - 1)(2x + 1)}
REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo definisanost jednačine. Imenioci ne smeju biti nula, pa postavljamo uslove:

x−1≠0  ⟹  x≠12x+1≠0  ⟹  x≠−12x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1 \\ 2x + 1 \neq 0 \implies x \neq -\frac{1}{2}

Množimo celu jednačinu najmanjim zajedničkim sadržocem (x−1)(2x+1) (x - 1)(2x + 1) kako bismo se oslobodili razlomaka:

(2x+1)2+(x−1)2=5x+4(2x + 1)^2 + (x - 1)^2 = 5x + 4

Kvadriramo binome na levoj strani jednačine:

(4x2+4x+1)+(x2−2x+1)=5x+4(4x^2 + 4x + 1) + (x^2 - 2x + 1) = 5x + 4

Sređujemo jednačinu i prebacujemo sve članove na levu stranu da dobijemo oblik ax2+bx+c=0: ax^2 + bx + c = 0 :

5x2+2x+2−5x−4=05x2−3x−2=05x^2 + 2x + 2 - 5x - 4 = 0 \\ 5x^2 - 3x - 2 = 0

Identifikujemo koeficijente kvadratne jednačine:

a=5,b=−3,c=−2a = 5, \quad b = -3, \quad c = -2

Računamo diskriminantu jednačine po formuli D=b2−4ac: D = b^2 - 4ac :

D=(−3)2−4⋅5⋅(−2)=9+40=49D = (-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 9 + 40 = 49

Primenjujemo formulu za rešavanje kvadratne jednačine:

x1,2=−b±D2a=3±492⋅5x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 5}

Računamo vrednosti za x1 x_1 i x2: x_2 :

x1=3+710=1010=1x2=3−710=−410=−25x_1 = \frac{3 + 7}{10} = \frac{10}{10} = 1 \\ x_2 = \frac{3 - 7}{10} = -\frac{4}{10} = -\frac{2}{5}

Proveravamo rešenja u odnosu na početne uslove. Kako je uslov bio x≠1, x \neq 1 , rešenje x1=1 x_1 = 1 se odbacuje.

x=−25x = -\frac{2}{5}