1383.

Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

TEKST ZADATKA

Za koje vrednosti realnog parametra m m kvadratna jednačina ima dvostruka realna rešenja:

(2m+1)x2−(m+2)x+m−3=0(2m + 1)x^2 - (m + 2)x + m - 3 = 0
REŠENJE ZADATKA

Prvo identifikujemo koeficijente kvadratne jednačine ax2+bx+c=0. ax^2 + bx + c = 0 .

a=2m+1,b=−(m+2),c=m−3a = 2m + 1, \quad b = -(m + 2), \quad c = m - 3

Da bi jednačina bila kvadratna, vodeći koeficijent a a mora biti različit od nule.

2m+1≠0  ⟹  m≠−122m + 1 \neq 0 \implies m \neq -\frac{1}{2}

Kvadratna jednačina ima dvostruko realno rešenje ako i samo ako je njena diskriminanta D D jednaka nuli.

D=b2−4ac=0D = b^2 - 4ac = 0

Zamenjujemo koeficijente u formulu za diskriminantu i računamo:

(−(m+2))2−4(2m+1)(m−3)=0(-(m + 2))^2 - 4(2m + 1)(m - 3) = 0

Kvadriramo zagrade i množimo binome.

(m2+4m+4)−4(2m2−6m+m−3)=0(m^2 + 4m + 4) - 4(2m^2 - 6m + m - 3) = 0

Sređujemo izraz oslobađanjem od zagrada.

m2+4m+4−4(2m2−5m−3)=0m2+4m+4−8m2+20m+12=0m^2 + 4m + 4 - 4(2m^2 - 5m - 3) = 0 \\ m^2 + 4m + 4 - 8m^2 + 20m + 12 = 0

Grupišemo članove i dobijamo novu kvadratnu jednačinu po parametru m. m .

−7m2+24m+16=0-7m^2 + 24m + 16 = 0

Rešavamo dobijenu jednačinu pomoću opšte formule za rešavanje kvadratne jednačine.

m1,2=−24±242−4⋅(−7)⋅162⋅(−7)m_{1,2} = \frac{-24 \pm \sqrt{24^2 - 4 \cdot (-7) \cdot 16}}{2 \cdot (-7)}

Računamo vrednost pod korenom (diskriminantu za m m ).

m1,2=−24±576+448−14=−24±1024−14m_{1,2} = \frac{-24 \pm \sqrt{576 + 448}}{-14} = \frac{-24 \pm \sqrt{1024}}{-14}

Određujemo konkretne vrednosti za m. m .

m1,2=−24±32−14m_{1,2} = \frac{-24 \pm 32}{-14}

Prvo rešenje za m: m :

m1=−24+32−14=8−14=−47m_1 = \frac{-24 + 32}{-14} = \frac{8}{-14} = -\frac{4}{7}

Drugo rešenje za m: m :

m2=−24−32−14=−56−14=4m_2 = \frac{-24 - 32}{-14} = \frac{-56}{-14} = 4

Kako su obe dobijene vrednosti različite od −12, -\frac{1}{2} , zaključujemo da su tražene vrednosti parametra:

m∈{−47,4}m \in \left\{ -\frac{4}{7}, 4 \right\}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti