1392.

Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

TEKST ZADATKA

U jednačini x2−7x+2m−4=0 x^2 - 7x + 2m - 4 = 0 odrediti vrednosti realnog parametra m m za koje će jednačina imati: 1° oba rešenja pozitivna, 2° realna rešenja suprotnog znaka.

x2−7x+2m−4=0x^2 - 7x + 2m - 4 = 0
REŠENJE ZADATKA

Prvo identifikujemo koeficijente kvadratne jednačine ax2+bx+c=0: ax^2 + bx + c = 0 :

a=1,b=−7,c=2m−4a = 1, \quad b = -7, \quad c = 2m - 4

Da bi rešenja bila realna, diskriminanta D D mora biti veća ili jednaka nuli. Računamo diskriminantu:

D=b2−4ac=(−7)2−4⋅1⋅(2m−4)=49−8m+16=65−8mD = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2m - 4) = 49 - 8m + 16 = 65 - 8m

Uslov za realnost rešenja D≥0: D \ge 0 :

65−8m≥0  ⟹  8m≤65  ⟹  m≤65865 - 8m \ge 0 \implies 8m \le 65 \implies m \le \frac{65}{8}

Rešavamo prvi deo (1°): Oba rešenja su pozitivna (x1>0,x2>0 x_1 > 0, x_2 > 0 ). Prema Vijetovim formulama i teoriji, to znači:

{D≥0x1+x2>0x1⋅x2>0\begin{cases} D \ge 0 \\ x_1 + x_2 > 0 \\ x_1 \cdot x_2 > 0 \end{cases}

Zamenjujemo vrednosti u sistem nejednačina za prvi slučaj:

{m≤658−ba=7>0(uvek tacˇno)ca=2m−4>0\begin{cases} m \le \frac{65}{8} \\ -\frac{b}{a} = 7 > 0 \quad (uvek \, tačno) \\ \frac{c}{a} = 2m - 4 > 0 \end{cases}

Iz 2m−4>0 2m - 4 > 0 dobijamo m>2. m > 2 . Kombinovanjem sa uslovom realnosti, rešenje za 1° je:

m∈(2,658]m \in (2, \frac{65}{8}]

Rešavamo drugi deo (2°): Realna rešenja suprotnog znaka. To se dešava kada je proizvod rešenja negativan:

x1⋅x2<0  ⟹  ca<0x_1 \cdot x_2 < 0 \implies \frac{c}{a} < 0

Računamo vrednost parametra m m za drugi slučaj. Napomena: Ako je c<0 c < 0 i a>0, a > 0 , diskriminanta je uvek pozitivna, pa je uslov D≥0 D \ge 0 automatski ispunjen.

2m−4<0  ⟹  2m<4  ⟹  m<22m - 4 < 0 \implies 2m < 4 \implies m < 2

Konačna rešenja zadatka po tačkama su:

1∘ m∈(2,658],2∘ m<21^\circ \, m \in (2, \frac{65}{8}], \quad 2^\circ \, m < 2

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti