1448.

Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

TEKST ZADATKA

U kvadratnoj jednačini ax2+bx+c=0 ax^2 + bx + c = 0 odrediti pomoću Vijetovih formula vrednost izraza:

1x12+1x22\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2}
REŠENJE ZADATKA

Zapisujemo Vijetove formule za datu kvadratnu jednačinu:

x1+x2=−baix1⋅x2=cax_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \quad \text{i} \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}

Transformišemo zadati izraz svodeći razlomke na zajednički imenilac kako bismo mogli da upotrebimo Vijetove formule.

1x12+1x22=x22+x12x12⋅x22=x12+x22(x1⋅x2)2\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} = \frac{x_2^2 + x_1^2}{x_1^2 \cdot x_2^2} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{(x_1 \cdot x_2)^2}

Zbir kvadrata u brojiocu, to jest izraz x12+x22, x_1^2 + x_2^2 , izražavamo preko kvadrata binoma.

x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2

Zamenjujemo ovu transformaciju u prethodni izraz.

(x1+x2)2−2x1x2(x1⋅x2)2\frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2}{(x_1 \cdot x_2)^2}

Sada u dobijeni izraz menjamo vrednosti za zbir i proizvod rešenja iz Vijetovih formula.

(−ba)2−2(ca)(ca)2\frac{\left(-\frac{b}{a}\right)^2 - 2\left(\frac{c}{a}\right)}{\left(\frac{c}{a}\right)^2}

Kvadriramo izraze u brojiocu i imeniocu.

b2a2−2cac2a2\frac{\frac{b^2}{a^2} - \frac{2c}{a}}{\frac{c^2}{a^2}}

Svodimo izraze u brojiocu na zajednički imenilac a2. a^2 .

b2−2aca2c2a2\frac{\frac{b^2 - 2ac}{a^2}}{\frac{c^2}{a^2}}

Sređujemo dvojni razlomak skraćivanjem imenioca a2 a^2 i dobijamo konačno rešenje.

b2−2acc2\frac{b^2 - 2ac}{c^2}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti