1449. Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

Prema Vijetovim formulama za datu kvadratnu jednačinu, zbir i proizvod rešenja su:

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \quad \text{i} \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}

Da bismo izrazili $x_1^3 + x_2^3$ preko zbira i proizvoda, polazimo od formule za kub binoma:

(x_1 + x_2)^3 = x_1^3 + 3x_1^2 x_2 + 3x_1 x_2^2 + x_2^3

Izdvajanjem zajedničkog činioca $3x_1x_2$ iz srednja dva člana, formulu možemo zapisati u sledećem obliku:

(x_1 + x_2)^3 = x_1^3 + x_2^3 + 3x_1 x_2(x_1 + x_2)

Izražavamo traženi zbir kubova $x_1^3 + x_2^3$ prebacivanjem ostalih članova na drugu stranu jednakosti:

x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1 x_2(x_1 + x_2)

Sada zamenjujemo vrednosti dobijene iz Vijetovih formula u ovaj izraz:

x_1^3 + x_2^3 = \left(-\frac{b}{a}\right)^3 - 3\left(\frac{c}{a}\right)\left(-\frac{b}{a}\right)

Računamo kub i proizvod razlomaka:

x_1^3 + x_2^3 = -\frac{b^3}{a^3} + \frac{3bc}{a^2}

Proširujemo drugi razlomak sa $a$ i svodimo izraz na zajednički imenilac $a^3$ kako bismo dobili konačan rezultat:

x_1^3 + x_2^3 = \frac{3abc - b^3}{a^3}

1449.Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce