1454.

Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

TEKST ZADATKA

Neka su x1 x_1 i x2 x_2 rešenja jednačine x2−x−2=0. x^2 - x - 2 = 0 . Ne rešavajući jednačinu odrediti:

x13+x23x_1^3 + x_2^3
REŠENJE ZADATKA

Prvo identifikujemo koeficijente kvadratne jednačine ax2+bx+c=0. ax^2 + bx + c = 0 .

a=1,b=−1,c=−2a = 1, \quad b = -1, \quad c = -2

Koristimo Vijetove formule da odredimo zbir i proizvod rešenja.

x1+x2=−ba,x1⋅x2=cax_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}

Računamo konkretne vrednosti za zbir i proizvod.

x1+x2=−−11=1,x1x2=−21=−2x_1 + x_2 = -\frac{-1}{1} = 1, \quad x_1 x_2 = \frac{-2}{1} = -2

Izraz x13+x23 x_1^3 + x_2^3 transformišemo koristeći identitet za zbir kubova.

x13+x23=(x1+x2)(x12−x1x2+x22)x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1 x_2 + x_2^2)

Da bismo izbegli računanje kvadrata pojedinačno, transformišemo izraz u zagradi koristeći kvadrat zbira (x1+x2)2=x12+2x1x2+x22. (x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1 x_2 + x_2^2 .

x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2

Zamenjujemo transformisani kvadrat u početni izraz za zbir kubova.

x13+x23=(x1+x2)((x1+x2)2−3x1x2)x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)((x_1 + x_2)^2 - 3x_1 x_2)

Sada uvrštavamo vrednosti dobijene iz Vijetovih formula u dobijeni izraz.

x13+x23=1⋅(12−3⋅(−2))x_1^3 + x_2^3 = 1 \cdot (1^2 - 3 \cdot (-2))

Računamo konačnu vrednost izraza.

x13+x23=1⋅(1+6)=7x_1^3 + x_2^3 = 1 \cdot (1 + 6) = 7

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti