1455.

Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

TEKST ZADATKA

Neka su x1 x_1 i x2 x_2 rešenja jednačine x2−x−2=0. x^2 - x - 2 = 0 . Ne rešavajući jednačinu odrediti:

x14+x24x_1^4 + x_2^4
REŠENJE ZADATKA

Iz date kvadratne jednačine x2−x−2=0 x^2 - x - 2 = 0 identifikujemo koeficijente:

a=1, b=−1, c=−2a = 1, \ b = -1, \ c = -2

Koristimo Vijetove formule da odredimo zbir i proizvod rešenja:

x1+x2=−ba=−−11=1x1⋅x2=ca=−21=−2x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-1}{1} = 1 \\ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-2}{1} = -2

Da bismo došli do četvrtog stepena, prvo računamo zbir kvadrata rešenja koristeći identitet (x1+x2)2=x12+2x1x2+x22: (x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 :

x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2

Zamenjujemo vrednosti iz Vijetovih formula u izraz za zbir kvadrata:

x12+x22=(1)2−2(−2)=1+4=5x_1^2 + x_2^2 = (1)^2 - 2(-2) = 1 + 4 = 5

Sada ponovo primenjujemo sličan identitet na izraz (x12+x22)2 (x_1^2 + x_2^2)^2 kako bismo dobili četvrte stepene:

x14+x24=(x12+x22)2−2(x1x2)2x_1^4 + x_2^4 = (x_1^2 + x_2^2)^2 - 2(x_1x_2)^2

Zamenjujemo prethodno izračunati zbir kvadrata i poznati proizvod rešenja u finalni izraz:

x14+x24=(5)2−2(−2)2x_1^4 + x_2^4 = (5)^2 - 2(-2)^2

Računamo konačnu vrednost izraza:

x14+x24=25−2(4)=25−8=17x_1^4 + x_2^4 = 25 - 2(4) = 25 - 8 = 17

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti