1483.

Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

TEKST ZADATKA

Za koje vrednosti realnog broja p p su rešenja jednačine međusobno suprotna?

x2+3(p2−1)x−p−3=0x^2 + 3(p^2 - 1)x - p - 3 = 0
REŠENJE ZADATKA

Da bi rešenja kvadratne jednačine x1 x_1 i x2 x_2 bila međusobno suprotna, mora važiti uslov x1=−x2, x_1 = -x_2 , što je ekvivalentno uslovu da je njihov zbir jednak nuli:

x1+x2=0x_1 + x_2 = 0

Na osnovu Vijetovih formula, znamo da je zbir rešenja kvadratne jednačine ax2+bx+c=0 ax^2 + bx + c = 0 dat formulom x1+x2=−ba. x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} . U našem slučaju koeficijenti su:

a=1,b=3(p2−1),c=−p−3a = 1, \quad b = 3(p^2 - 1), \quad c = -p - 3

Postavljamo uslov da je zbir rešenja jednak nuli:

−3(p2−1)1=0-\frac{3(p^2 - 1)}{1} = 0

Rešavamo dobijenu jednačinu po promenljivoj p. p . Prvo delimo celu jednačinu sa -3:

p2−1=0p^2 - 1 = 0

Rastavljamo razliku kvadrata ili direktno korenujemo:

p2=1  ⟹  p=±1p^2 = 1 \implies p = \pm 1

Da bi rešenja bila realna i suprotna, diskriminanta jednačine D D mora biti veća od nule (ili jednaka nuli ako su rešenja nule, ali ovde tražimo suprotna rešenja). Proveravamo uslov D>0 D > 0 za dobijene vrednosti p: p :

D=b2−4ac=[3(p2−1)]2−4(1)(−p−3)D = b^2 - 4ac = [3(p^2 - 1)]^2 - 4(1)(-p - 3)

Za p=1: p = 1 :

D=[3(12−1)]2−4(1)(−1−3)=0−4(−4)=16>0D = [3(1^2 - 1)]^2 - 4(1)(-1 - 3) = 0 - 4(-4) = 16 > 0

Za p=−1: p = -1 :

D=[3((−1)2−1)]2−4(1)(−(−1)−3)=0−4(−2)=8>0D = [3((-1)^2 - 1)]^2 - 4(1)(-(-1) - 3) = 0 - 4(-2) = 8 > 0

Pošto su u oba slučaja rešenja realna, tražene vrednosti parametra p p su:

p∈{−1,1}p \in \{-1, 1\}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti