1485.

173.b

TEKST ZADATKA

Za koje vrednosti realnog broja p p su rešenja jednačine međusobno suprotna?

x2−2(p+3)x+p−13=0x^2 - 2(p + 3)x + p - 13 = 0
REŠENJE ZADATKA

Dva rešenja su međusobno suprotna ako je njihov zbir jednak nuli, odnosno x1+x2=0. x_1 + x_2 = 0 . Da bi rešenja bila realna i suprotna, diskriminanta jednačine mora biti veća od nule (D>0 D > 0 ).

x1=−x2  ⟹  x1+x2=0x_1 = -x_2 \implies x_1 + x_2 = 0

Identifikujemo koeficijente kvadratne jednačine ax2+bx+c=0: ax^2 + bx + c = 0 :

a=1,b=−2(p+3),c=p−13a = 1, \quad b = -2(p + 3), \quad c = p - 13

Koristimo Vijetovu formulu za zbir rešenja x1+x2=−ba. x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} . Postavljamo uslov da je taj zbir jednak nuli:

−−2(p+3)1=0-\frac{-2(p + 3)}{1} = 0

Rešavamo dobijenu linearnu jednačinu po p: p :

2(p+3)=0  ⟹  p+3=0  ⟹  p=−32(p + 3) = 0 \implies p + 3 = 0 \implies p = -3

Proveravamo da li za p=−3 p = -3 jednačina ima realna rešenja provera diskriminante D=b2−4ac: D = b^2 - 4ac :

D=(−2(−3+3))2−4⋅1⋅(−3−13)=02−4⋅(−16)=64D = (-2(-3 + 3))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3 - 13) = 0^2 - 4 \cdot (-16) = 64

Pošto je D=64>0, D = 64 > 0 , rešenja su realna i različita. Za p=−3 p = -3 jednačina postaje x2−16=0, x^2 - 16 = 0 , čija su rešenja x1=4 x_1 = 4 i x2=−4, x_2 = -4 , što potvrđuje da su ona suprotna.

p=−3p = -3