1544.

Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

TEKST ZADATKA

Rešiti kvadratne jednačine, gde su m, m , n, n , a, a , b b realni parametri (zadaci 199-204):

a+4bx+2b−a−4bx−2b=4ba\frac{a + 4b}{x + 2b} - \frac{a - 4b}{x - 2b} = \frac{4b}{a}
REŠENJE ZADATKA

Jednačina je definisana pod uslovima da su imenioci različiti od nule:

x≠−2b,x≠2b,a≠0x \neq -2b, \quad x \neq 2b, \quad a \neq 0

Svodićemo levu stranu jednačine na zajednički imenilac (x+2b)(x−2b)=x2−4b2: (x+2b)(x-2b) = x^2-4b^2 :

(a+4b)(x−2b)−(a−4b)(x+2b)x2−4b2=4ba\frac{(a + 4b)(x - 2b) - (a - 4b)(x + 2b)}{x^2 - 4b^2} = \frac{4b}{a}

Računamo izraz u brojiocu leve strane množenjem binoma:

(ax−2ab+4bx−8b2)−(ax+2ab−4bx−8b2)(ax - 2ab + 4bx - 8b^2) - (ax + 2ab - 4bx - 8b^2)

Nakon oslobađanja od zagrada i grupisanja sličnih monoma dobijamo:

ax−2ab+4bx−8b2−ax−2ab+4bx+8b2=8bx−4ab=4b(2x−a)ax - 2ab + 4bx - 8b^2 - ax - 2ab + 4bx + 8b^2 = 8bx - 4ab = 4b(2x - a)

Zamenjujemo sređeni brojilac nazad u jednačinu:

4b(2x−a)x2−4b2=4ba\frac{4b(2x - a)}{x^2 - 4b^2} = \frac{4b}{a}

Razlikujemo dva slučaja u zavisnosti od vrednosti parametra b. b . Prvi slučaj je b=0. b = 0 . Tada jednačina postaje:

0=00 = 0

Za b=0, b = 0 , uslov definisanosti je x≠0 x \neq 0 (pošto je ±2b=0 \pm 2b = 0 ). Nema drugih ograničenja, pa je rešenje svaki realan broj osim nule:

x∈R∖{0}x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}

Drugi slučaj je b≠0. b \neq 0 . Tada možemo podeliti obe strane jednačine sa 4b: 4b :

2x−ax2−4b2=1a\frac{2x - a}{x^2 - 4b^2} = \frac{1}{a}

Množenjem unakrsno (jer je a≠0 a \neq 0 i x2−4b2≠0 x^2 - 4b^2 \neq 0 ) dobijamo:

a(2x−a)=x2−4b2a(2x - a) = x^2 - 4b^2

Sređivanjem dobijamo kvadratnu jednačinu po promenljivoj x: x :

2ax−a2=x2−4b2  ⟹  x2−2ax+a2−4b2=02ax - a^2 = x^2 - 4b^2 \implies x^2 - 2ax + a^2 - 4b^2 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu primenom formule za rešenja:

x=−(−2a)±(−2a)2−4⋅1⋅(a2−4b2)2⋅1x = \frac{-(-2a) \pm \sqrt{(-2a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 - 4b^2)}}{2 \cdot 1}

Računamo diskriminantu jednačine ispod korena:

D=4a2−4(a2−4b2)=4a2−4a2+16b2=16b2D = 4a^2 - 4(a^2 - 4b^2) = 4a^2 - 4a^2 + 16b^2 = 16b^2

Zamenjujemo diskriminantu nazad u formulu. Zbog znaka ± \pm ispred korena, rešenja ostaju ista bez obzira na znak parametra b: b :

x=2a±16b22=2a±4b2=a±2bx = \frac{2a \pm \sqrt{16b^2}}{2} = \frac{2a \pm 4b}{2} = a \pm 2b

Dobijamo dva potencijalna rešenja:

x1=a+2b,x2=a−2bx_1 = a + 2b, \quad x_2 = a - 2b

Proveravamo uslove definisanosti za dobijena rešenja. Prvo rešenje x1=a+2b x_1 = a + 2b ne sme biti jednako 2b 2b niti −2b: -2b :

a+2b≠2b  ⟹  a≠0ia+2b≠−2b  ⟹  a≠−4ba + 2b \neq 2b \implies a \neq 0 \quad \text{i} \quad a + 2b \neq -2b \implies a \neq -4b

Pošto je po uslovu zadatka a≠0 a \neq 0 (imenilac na desnoj strani), prvo ograničenje je uvek ispunjeno. Dakle, x1 x_1 je rešenje samo ako je a≠−4b. a \neq -4b .

Proveravamo uslove definisanosti za drugo rešenje x2=a−2b: x_2 = a - 2b :

a−2b≠−2b  ⟹  a≠0ia−2b≠2b  ⟹  a≠4ba - 2b \neq -2b \implies a \neq 0 \quad \text{i} \quad a - 2b \neq 2b \implies a \neq 4b

Slično, zbog a≠0 a \neq 0 prvo ograničenje je ispunjeno, pa je x2 x_2 rešenje samo ako je a≠4b. a \neq 4b .

Zapisujemo konačnu diskusiju skupa rešenja S S u zavisnosti od parametara a a i b b (uz uslov a≠0 a \neq 0 ):

S={R∖{0},b=0{6b},a=4b{−6b},a=−4b{a−2b,a+2b},a≠±4b∧b≠0S = \begin{cases} \mathbb{R} \setminus \{0\}, & b = 0 \\ \{6b\}, & a = 4b \\ \{-6b\}, & a = -4b \\ \{a - 2b, a + 2b\}, & a \neq \pm 4b \land b \neq 0 \end{cases}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti