1545.

Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

Prvo određujemo uslove pod kojima je jednačina definisana. Imenioci razlomaka ne smeju biti jednaki nuli:

Iz ovih uslova sledi da je $x \neq m$ i $x \neq -m ,$ odnosno:

Sređujemo drugi razlomak na levoj strani jednačine izdvajanjem minusa u brojiocu:

Zamenjujemo ovo u polaznu jednačinu, a u imeniocu na desnoj strani primenjujemo razliku kvadrata $m^2 - x^2 = (m - x)(m + x) :$

Množimo celu jednačinu sa zajedničkim imeniocem $(m - x)(m + x)$ uz definisani uslov $x \neq \pm m :$

Kvadriramo binome na levoj strani:

Nakon sabiranja sličnih monoma dobijamo:

Delimo jednačinu sa $2$ i prebacujemo sve članove na levu stranu kako bismo dobili opšti oblik kvadratne jednačine:

Računamo diskriminantu kvadratne jednačine gde je $a = 1 ,$ $b = -m ,$ $c = m^2 :$

Analiziramo rešenja u zavisnosti od parametra $m .$ Ako je $m = 0 ,$ jednačina dobija oblik $x^2 = 0 ,$ čije je jedino rešenje:

Međutim, za $m = 0$ uslov definisanosti zahteva $x \neq \pm 0 ,$ odnosno $x \neq 0 .$ Zbog toga za $m = 0$ polazna jednačina nema rešenja.

Ako je $m \neq 0 ,$ tada je $-3m^2 < 0 .$ Diskriminanta je manja od nule, pa jednačina ima jedan par konjugovanih kompleksnih rešenja:

Znamo da je $\sqrt{-3m^2} = i\sqrt{3m^2} .$ Zbog znaka $\pm$ ispred korena, rešenja možemo zapisati u obliku:

Ova rešenja možemo faktorisati izvlačenjem parametra $m .$ Kompleksna rešenja su uvek različita od realnih brojeva $\pm m$ (za $m \neq 0$), pa uslov definisanosti ostaje zadovoljen. Konačno rešenje je: