1554.

Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

TEKST ZADATKA

Rešiti kvadratne jednačine, gde su m, m , n, n , a, a , b b realni parametri (zadaci 199-204):

mx2−1(mx−1)2−(m−1)x2m3x2−m(2mx−1)=1m\frac{mx^2 - 1}{(mx - 1)^2} - \frac{(m - 1)x^2}{m^3x^2 - m(2mx - 1)} = \frac{1}{m}
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo da transformišemo imenilac drugog razlomka kako bismo ga faktorisali:

m3x2−m(2mx−1)=m3x2−2m2x+m=m(m2x2−2mx+1)=m(mx−1)2m^3x^2 - m(2mx - 1) = m^3x^2 - 2m^2x + m = m(m^2x^2 - 2mx + 1) = m(mx - 1)^2

Sada možemo da prepišemo polaznu jednačinu u preglednijem obliku:

mx2−1(mx−1)2−(m−1)x2m(mx−1)2=1m\frac{mx^2 - 1}{(mx - 1)^2} - \frac{(m - 1)x^2}{m(mx - 1)^2} = \frac{1}{m}

Određujemo oblast definisanosti jednačine. Imenioci ne smeju biti jednaki nuli:

m≠0imx−1≠0  ⟹  x≠1mm \neq 0 \quad \text{i} \quad mx - 1 \neq 0 \implies x \neq \frac{1}{m}

Množimo celu jednačinu sa zajedničkim imeniocem m(mx−1)2: m(mx - 1)^2 :

m(mx2−1)−(m−1)x2=(mx−1)2m(mx^2 - 1) - (m - 1)x^2 = (mx - 1)^2

Sređujemo obe strane jednačine:

m2x2−m−mx2+x2=m2x2−2mx+1m^2x^2 - m - mx^2 + x^2 = m^2x^2 - 2mx + 1

Prebacujemo sve članove na levu stranu i grupišemo ih uz stepene promenljive x, x , kako bismo dobili standardni oblik kvadratne jednačine:

−mx2+x2+2mx−m−1=0  ⟹  (1−m)x2+2mx−(m+1)=0-mx^2 + x^2 + 2mx - m - 1 = 0 \implies (1 - m)x^2 + 2mx - (m + 1) = 0

Analiziramo slučaj kada je vodeći koeficijent jednak nuli, odnosno 1−m=0  ⟹  m=1. 1 - m = 0 \implies m = 1 . Zamenom u jednačinu dobijamo:

0⋅x2+2⋅1⋅x−(1+1)=0  ⟹  2x−2=0  ⟹  x=10 \cdot x^2 + 2 \cdot 1 \cdot x - (1 + 1) = 0 \implies 2x - 2 = 0 \implies x = 1

Međutim, iz uslova definisanosti imamo da za m=1 m = 1 mora važiti x≠11  ⟹  x≠1. x \neq \frac{1}{1} \implies x \neq 1 . Zbog toga za m=1 m = 1 jednačina nema rešenja.

Sada razmatramo slučaj kada je m≠1 m \neq 1 (uz početni uslov m≠0 m \neq 0 ). Jednačina je kvadratna, pa računamo diskriminantu D=b2−4ac: D = b^2 - 4ac :

D=(2m)2−4(1−m)(−(m+1))D = (2m)^2 - 4(1 - m)(-(m + 1))

Sređujemo izraz za diskriminantu:

D=4m2+4(1−m)(m+1)=4m2+4(1−m2)=4m2+4−4m2=4D = 4m^2 + 4(1 - m)(m + 1) = 4m^2 + 4(1 - m^2) = 4m^2 + 4 - 4m^2 = 4

Pošto je D=4>0, D = 4 > 0 , jednačina ima dva različita realna rešenja. Primenjujemo formulu za rešavanje kvadratne jednačine:

x1,2=−2m±42(1−m)=−2m±22(1−m)x_{1,2} = \frac{-2m \pm \sqrt{4}}{2(1 - m)} = \frac{-2m \pm 2}{2(1 - m)}

Računamo prvo rešenje x1: x_1 :

x1=−2m+22(1−m)=2(1−m)2(1−m)=1x_1 = \frac{-2m + 2}{2(1 - m)} = \frac{2(1 - m)}{2(1 - m)} = 1

Računamo drugo rešenje x2: x_2 :

x2=−2m−22(1−m)=−2(m+1)−2(m−1)=m+1m−1x_2 = \frac{-2m - 2}{2(1 - m)} = \frac{-2(m + 1)}{-2(m - 1)} = \frac{m + 1}{m - 1}

Proveravamo da li rešenje x1=1 x_1 = 1 zadovoljava uslov definisanosti x≠1m: x \neq \frac{1}{m} :

1≠1m  ⟹  m≠11 \neq \frac{1}{m} \implies m \neq 1

Kako smo u slučaju m≠1, m \neq 1 , prvo rešenje je uvek validno. Zatim proveravamo uslov definisanosti za drugo rešenje x2: x_2 :

m+1m−1≠1m  ⟹  m(m+1)≠m−1  ⟹  m2+m≠m−1  ⟹  m2≠−1\frac{m + 1}{m - 1} \neq \frac{1}{m} \implies m(m + 1) \neq m - 1 \implies m^2 + m \neq m - 1 \implies m^2 \neq -1

Pošto je m∈R, m \in \mathbb{R} , uslov m2≠−1 m^2 \neq -1 je uvek ispunjen, pa je i drugo rešenje uvek validno.

Možemo da zapišemo konačan zaključak. Za m∈{0,1} m \in \{0, 1\} jednačina nema rešenja, dok za m∈R∖{0,1} m \in \mathbb{R} \setminus \{0, 1\} jednačina ima dva rešenja.

x1=1,x2=m+1m−1x_1 = 1, \quad x_2 = \frac{m + 1}{m - 1}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti