TEKST ZADATKA
Dokazati da rešenja jednačina pripadaju skupu realnih brojeva:
x−a1+x−b1=c21(p,q,a,b,c∈R,q=0,c=0)
REŠENJE ZADATKA
Prvo definišemo oblast definisanosti (domen) jednačine. Imenitelji ne smeju biti jednaki nuli:
x=aix=b Množimo celu jednačinu sa zajedničkim imeniocem c2(x−a)(x−b) kako bismo se oslobodili razlomaka:
c2(x−b)+c2(x−a)=(x−a)(x−b) Množimo izraze u zagradama i sređujemo jednačinu:
c2x−c2b+c2x−c2a=x2−ax−bx+ab Prebacujemo sve članove na desnu stranu kako bismo dobili kvadratnu jednačinu u standardnom obliku Ax2+Bx+C=0:
x2−ax−bx−2c2x+ab+c2a+c2b=0 Grupišemo članove uz x i slobodne članove:
x2−(a+b+2c2)x+ab+c2(a+b)=0 Da bismo dokazali da su rešenja realna, računamo diskriminantu kvadratne jednačine D=B2−4AC:
D=(−(a+b+2c2))2−4⋅1⋅(ab+c2(a+b)) Kvadriramo izraz tretirajući (a+b) kao jedan član i oslobađamo se zagrada:
D=(a+b)2+4c2(a+b)+4c4−4ab−4c2(a+b) Skraćujemo suprotne članove 4c2(a+b) i −4c2(a+b):
D=(a+b)2−4ab+4c4 Razvijamo kvadrat binoma (a+b)2:
D=a2+2ab+b2−4ab+4c4=a2−2ab+b2+4c4 Prepoznajemo formulu za kvadrat binoma (a−b)2:
D=(a−b)2+4c4 Analiziramo znak diskriminante. Za svako a,b,c∈R važi (a−b)2≥0 i c4≥0. Pošto je dato da je c=0, sledi da je 4c4>0.
Pošto je diskriminanta uvek strogo veća od nule, kvadratna jednačina ima sigurno realna rešenja. Samim tim, rešenja polazne jednačine uvek pripadaju skupu realnih brojeva, što je i trebalo dokazati.