1562.

205.a

TEKST ZADATKA

Dokazati da rešenja jednačina pripadaju skupu realnih brojeva: 1x+p+1x=1q; \frac{1}{x + p} + \frac{1}{x} = \frac{1}{q}; (p,q,a,b,c∈R,q≠0,c≠0). (p, q, a, b, c \in \mathbf{R}, q \neq 0, c \neq 0) .

REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo uslove pod kojima je jednačina definisana. Imenioci ne smeju biti jednaki nuli.

x≠0ix+p≠0  ⟹  x≠−px \neq 0 \quad \text{i} \quad x + p \neq 0 \implies x \neq -p

Množimo celu jednačinu najmanjim zajedničkim sadržaocem imenilaca, a to je izraz qx(x+p), qx(x+p) , kako bismo se oslobodili razlomaka.

1x+p⋅qx(x+p)+1x⋅qx(x+p)=1q⋅qx(x+p)\frac{1}{x + p} \cdot qx(x+p) + \frac{1}{x} \cdot qx(x+p) = \frac{1}{q} \cdot qx(x+p)

Skraćivanjem dobijamo:

qx+q(x+p)=x(x+p)qx + q(x+p) = x(x+p)

Oslobađamo se zagrada množenjem:

qx+qx+pq=x2+pxqx + qx + pq = x^2 + px

Prebacujemo sve članove na desnu stranu kako bismo dobili kvadratnu jednačinu u opštem obliku ax2+bx+c=0: ax^2 + bx + c = 0 :

x2+px−2qx−pq=0x^2 + px - 2qx - pq = 0

Grupisanjem članova uz x, x , jednačina dobija oblik:

x2+(p−2q)x−pq=0x^2 + (p - 2q)x - pq = 0

Da bismo dokazali da su rešenja realni brojevi, potrebno je da pokažemo da je diskriminanta D D ove kvadratne jednačine veća ili jednaka nuli. Računamo diskriminantu prema formuli D=b2−4ac: D = b^2 - 4ac :

D=(p−2q)2−4⋅1⋅(−pq)D = (p - 2q)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-pq)

Kvadriramo binom i sređujemo izraz:

D=p2−4pq+4q2+4pqD = p^2 - 4pq + 4q^2 + 4pq

Potiranjem članova −4pq -4pq i +4pq +4pq dobijamo:

D=p2+4q2D = p^2 + 4q^2

Analiziramo znak dobijene diskriminante. Kvadrati realnih brojeva su uvek nenegativni, pa važi p2≥0 p^2 \ge 0 i q2≥0. q^2 \ge 0 . Pošto je po uslovu zadatka q≠0, q \neq 0 , sledi da je 4q2>0. 4q^2 > 0 .

D=p2+4q2>0D = p^2 + 4q^2 > 0

S obzirom na to da je diskriminanta strogo pozitivna (D>0 D > 0 ), kvadratna jednačina ima dva različita realna rešenja. Ukoliko ta rešenja zadovoljavaju početne uslove (x≠0 x \neq 0 i x≠−p x \neq -p ), ona su ujedno i rešenja polazne jednačine. Time je dokazano da rešenja pripadaju skupu realnih brojeva.