TEKST ZADATKA
Odrediti vrednost parametra a tako da koreni jednačine x2−x+a−2=0 zadovoljavaju uslov x2x1+x1x2+21x1x2+4=0.
REŠENJE ZADATKA
Primenjujemo Vijetove formule za kvadratnu jednačinu x2−x+a−2=0. Koeficijenti su A=1, B=−1 i C=a−2.
x1+x2x1x2=−AB=−1−1=1=AC=1a−2=a−2 Transformišemo prva dva člana datog uslova svodeći ih na zajednički imenilac:
x2x1+x1x2=x1x2x12+x22 Zbir kvadrata rešenja možemo izraziti preko zbira i proizvoda rešenja:
x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2 Zamenjujemo dobijene vrednosti iz Vijetovih formula u izraz za zbir kvadrata rešenja:
x12+x22=12−2(a−2)=1−2a+4=5−2a Sada početni uslov zadatka možemo izraziti isključivo preko parametra a:
a−25−2a+21(a−2)+4=0 Uz uslov da imenilac mora biti različit od nule, odnosno a−2=0⟹a=2, množimo celu jednačinu sa 2(a−2) kako bismo se oslobodili razlomaka:
2(5−2a)+(a−2)2+8(a−2)=0 Kvadriramo binom i oslobađamo se zagrada:
10−4a+a2−4a+4+8a−16=0 Grupisanjem sličnih članova dobijamo uprošćenu kvadratnu jednačinu po a:
a2+(−4a−4a+8a)+(10+4−16)=0⟹a2−2=0 Rešavamo jednačinu po a:
a2=2⟹a1=2,a2=−2 Proveravamo da li za dobijene vrednosti parametra a postoje realna rešenja početne jednačine. Diskriminanta mora biti veća ili jednaka nuli (D≥0):
D=B2−4AC=(−1)2−4⋅1⋅(a−2)=1−4a+8=9−4a≥0 Rešavamo nejednačinu za diskriminantu:
4a≤9⟹a≤49=2.25 Pošto je približna vrednost 2≈1.41 i −2≈−1.41, obe dobijene vrednosti ispunjavaju uslov a≤2.25 i a=2. Obe vrednosti su konačna rešenja zadatka.
a∈{−2,2}