1604.

Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

TEKST ZADATKA

Fabrika se obavezala da trgovini isporuči za određeno vreme 600 600 komada jednog proizvoda. Povećanjem produktivnosti rada fabrika je uspela da izrađuje dnevno 10 10 komada više tog proizvoda, zbog čega je isporuku izvršila 3 3 dana ranije. Koliko je komada tog proizvoda fabrika izrađivala dnevno i koliko je bilo povećanje produktivnosti rada?

REŠENJE ZADATKA

Neka je x x planirana dnevna proizvodnja, a y y planirano vreme izrade u danima. Ukupan broj komada je 600, 600 , pa važi:

x⋅y=600x \cdot y = 600

Stvarna dnevna proizvodnja je za 10 10 komada veća, odnosno iznosi x+10, x + 10 , a vreme izrade je za 3 3 dana kraće, odnosno iznosi y−3. y - 3 . Ukupan broj komada ostaje isti, pa postavljamo drugu jednačinu:

(x+10)(y−3)=600(x + 10)(y - 3) = 600

Iz prve jednačine izražavamo y: y :

y=600xy = \frac{600}{x}

Zamenjujemo y y u drugu jednačinu:

(x+10)(600x−3)=600(x + 10)\left(\frac{600}{x} - 3\right) = 600

Množimo zagrade:

600−3x+6000x−30=600600 - 3x + \frac{6000}{x} - 30 = 600

Sređujemo jednačinu oduzimanjem 600 600 sa obe strane:

−3x−30+6000x=0-3x - 30 + \frac{6000}{x} = 0

Množimo jednačinu sa −x3 -\frac{x}{3} (uz uslov x>0 x > 0 ):

x2+10x−2000=0x^2 + 10x - 2000 = 0

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu koristeći formulu za rešavanje kvadratnih jednačina:

x1,2=−b±b2−4ac2ax_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Zamenjujemo vrednosti koeficijenata a=1, a = 1 , b=10 b = 10 i c=−2000: c = -2000 :

x1,2=−10±102−4⋅1⋅(−2000)2⋅1x_{1,2} = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2000)}}{2 \cdot 1}

Računamo vrednost pod korenom:

x1,2=−10±100+80002=−10±81002x_{1,2} = \frac{-10 \pm \sqrt{100 + 8000}}{2} = \frac{-10 \pm \sqrt{8100}}{2}

Koren iz 8100 8100 je 90: 90 :

x1,2=−10±902x_{1,2} = \frac{-10 \pm 90}{2}

Računamo prvo rešenje:

x1=−10+902=802=40x_1 = \frac{-10 + 90}{2} = \frac{80}{2} = 40

Računamo drugo rešenje:

x2=−10−902=−1002=−50x_2 = \frac{-10 - 90}{2} = \frac{-100}{2} = -50

Kako dnevna proizvodnja mora biti pozitivan broj, odbacujemo negativno rešenje. Dakle, planirana dnevna proizvodnja je bila 40 40 komada.

x=40x = 40

Stvarna dnevna proizvodnja koju je fabrika izrađivala iznosi:

x+10=40+10=50x + 10 = 40 + 10 = 50

Povećanje produktivnosti rada predstavlja procentualno povećanje dnevne proizvodnje u odnosu na planiranu:

p=1040⋅100%p = \frac{10}{40} \cdot 100\%

Računamo procenat povećanja produktivnosti:

p=25%p = 25\%

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti