3577.

243.g

TEKST ZADATKA

Iz datih proporcija izvesti produženu proporciju oblika a:b:c:d=⋯: a : b : c : d = \dots : a:b=113:115, a : b = 1\frac{1}{3} : 1\frac{1}{5} , b:c=212:315, b : c = 2\frac{1}{2} : 3\frac{1}{5} , c:d=712:414. c : d = 7\frac{1}{2} : 4\frac{1}{4} .

REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo pretvoriti mešovite brojeve u neprave razlomke za svaku od proporcija. Za prvu proporciju imamo:

a:b=43:65a : b = \frac{4}{3} : \frac{6}{5}

Da bismo uprostili razmeru, pomnožićemo oba člana sa najmanjim zajedničkim sadržaocem za imenioce (NZS za 3 i 5 je 15):

a:b=(43⋅15):(65⋅15)=20:18=10:9a : b = \left(\frac{4}{3} \cdot 15\right) : \left(\frac{6}{5} \cdot 15\right) = 20 : 18 = 10 : 9

Za drugu proporciju pretvaramo mešovite brojeve u razlomke:

b:c=52:165b : c = \frac{5}{2} : \frac{16}{5}

Množimo oba člana sa NZS za 2 i 5, što je 10:

b:c=(52⋅10):(165⋅10)=25:32b : c = \left(\frac{5}{2} \cdot 10\right) : \left(\frac{16}{5} \cdot 10\right) = 25 : 32

Za treću proporciju pretvaramo mešovite brojeve u razlomke:

c:d=152:174c : d = \frac{15}{2} : \frac{17}{4}

Množimo oba člana sa NZS za 2 i 4, što je 4:

c:d=(152⋅4):(174⋅4)=30:17c : d = \left(\frac{15}{2} \cdot 4\right) : \left(\frac{17}{4} \cdot 4\right) = 30 : 17

Sada imamo tri uprošćene proporcije:

a:b=10:9b:c=25:32c:d=30:17\begin{aligned} a : b &= 10 : 9 \\ b : c &= 25 : 32 \\ c : d &= 30 : 17 \end{aligned}

Da bismo spojili prve dve proporcije u produženu proporciju a:b:c, a : b : c , potrebno je da član koji se odnosi na b b bude isti u obe. NZS za 9 i 25 je 225.

a:b=(10⋅25):(9⋅25)=250:225b:c=(25⋅9):(32⋅9)=225:288\begin{aligned} a : b &= (10 \cdot 25) : (9 \cdot 25) = 250 : 225 \\ b : c &= (25 \cdot 9) : (32 \cdot 9) = 225 : 288 \end{aligned}

Sada možemo zapisati produženu proporciju za prva tri člana:

a:b:c=250:225:288a : b : c = 250 : 225 : 288

Da bismo uključili i četvrti član d, d , potrebno je da izjednačimo član koji se odnosi na c c u produženoj proporciji i u proporciji c:d=30:17. c : d = 30 : 17 . Tražimo NZS za 288 i 30.

NZS(288,30)=1440\text{NZS}(288, 30) = 1440

Proširujemo produženu proporciju množenjem sa 1440:288=5, 1440 : 288 = 5 , a proporciju c:d c : d množenjem sa 1440:30=48: 1440 : 30 = 48 :

a:b:c=(250⋅5):(225⋅5):(288⋅5)=1250:1125:1440c:d=(30⋅48):(17⋅48)=1440:816\begin{aligned} a : b : c &= (250 \cdot 5) : (225 \cdot 5) : (288 \cdot 5) = 1250 : 1125 : 1440 \\ c : d &= (30 \cdot 48) : (17 \cdot 48) = 1440 : 816 \end{aligned}

Konačno, spajamo sve u jednu produženu proporciju:

a:b:c:d=1250:1125:1440:816a : b : c : d = 1250 : 1125 : 1440 : 816