3576. Razmere i proporcije

TEKST ZADATKA

Iz datih proporcija izvesti produženu proporciju oblika $a : b : c : d = \dots :$ $a : b = 1\frac{1}{3} : 5\frac{1}{2} ,$ $b : c = 2\frac{1}{5} : 3\frac{1}{2} ,$ $c : d = 7\frac{1}{2} : 4\frac{1}{4} .$

REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo pretvoriti mešovite brojeve u neprave razlomke.

\begin{aligned} a : b &= \frac{4}{3} : \frac{11}{2} \\ b : c &= \frac{11}{5} : \frac{7}{2} \\ c : d &= \frac{15}{2} : \frac{17}{4} \end{aligned}

Množenjem svake razmere najmanjim zajedničkim sadržaocem imenilaca, svodimo ih na razmere celih brojeva. Vrednost razmere se ne menja ako se oba njena člana pomnože istim brojem.

\begin{aligned} a : b &= \left(\frac{4}{3} \cdot 6\right) : \left(\frac{11}{2} \cdot 6\right) = 8 : 33 \\ b : c &= \left(\frac{11}{5} \cdot 10\right) : \left(\frac{7}{2} \cdot 10\right) = 22 : 35 \\ c : d &= \left(\frac{15}{2} \cdot 4\right) : \left(\frac{17}{4} \cdot 4\right) = 30 : 17 \end{aligned}

Da bismo spojili prve dve proporcije u produženu proporciju $a : b : c ,$ potrebno je da član $b$ bude isti u obe razmere. Najmanji zajednički sadržalac za brojeve 33 i 22 je 66. Zato prvu razmeru proširujemo sa 2, a drugu sa 3.

\begin{aligned} a : b &= (8 \cdot 2) : (33 \cdot 2) = 16 : 66 \\ b : c &= (22 \cdot 3) : (35 \cdot 3) = 66 : 105 \end{aligned}

Sada možemo zapisati produženu proporciju za prva tri člana.

a : b : c = 16 : 66 : 105

Da bismo uključili i član $d ,$ potrebno je da izjednačimo član $c$ u proporcijama $a : b : c$ i $c : d .$ Najmanji zajednički sadržalac za brojeve 105 i 30 je 210. Zato prvu proporciju proširujemo sa 2, a drugu sa 7.

\begin{aligned} a : b : c &= (16 \cdot 2) : (66 \cdot 2) : (105 \cdot 2) = 32 : 132 : 210 \\ c : d &= (30 \cdot 7) : (17 \cdot 7) = 210 : 119 \end{aligned}

Konačno, spajamo sve u jednu produženu proporciju.

a : b : c : d = 32 : 132 : 210 : 119

243.g