2971. Sinusna i kosinusna teorema i primena

Користимо косинусну теорему да бисмо изразили производ $bc \cos \alpha .$

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha

Заменом познатих вредности $a = 12$ и $b^2 + c^2 = 574$ у формулу добијамо:

12^2 = 574 - 2bc \cos \alpha \\ 144 = 574 - 2bc \cos \alpha \\ 2bc \cos \alpha = 430 \\ bc \cos \alpha = 215

Затим користимо формулу за површину троугла да бисмо изразили производ $bc \sin \alpha .$

S = \frac{1}{2} bc \sin \alpha

Заменом познате вредности за површину $S = 86$ добијамо:

86 = \frac{1}{2} bc \sin \alpha \\ bc \sin \alpha = 172

Сада можемо да одредимо угао $\alpha$ дељењем ове две једначине:

\frac{bc \sin \alpha}{bc \cos \alpha} = \frac{172}{215} \\ \tan \alpha = \frac{4}{5}

Пошто су и синус и косинус позитивни, угао $\alpha$ је оштар. Његова вредност је:

\alpha = \arctan \frac{4}{5}

Да бисмо нашли странице $b$ и $c ,$ прво ћемо израчунати $(bc)^2$ квадрирањем и сабирањем једначина за синус и косинус:

(bc \sin \alpha)^2 + (bc \cos \alpha)^2 = 172^2 + 215^2 \\ b^2 c^2 (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) = 29584 + 46225 \\ b^2 c^2 = 75809

Сада имамо систем једначина за $b^2$ и $c^2 :$

\begin{cases} b^2 + c^2 = 574 \\ b^2 c^2 = 75809 \end{cases}

На основу Вијетових формула, $b^2$ и $c^2$ су решења квадратне једначине:

t^2 - 574t + 75809 = 0

Решавамо ову квадратну једначину:

t_{1,2} = \frac{574 \pm \sqrt{574^2 - 4 \cdot 75809}}{2} \\ t_{1,2} = \frac{574 \pm \sqrt{329476 - 303236}}{2} \\ t_{1,2} = \frac{574 \pm \sqrt{26240}}{2}

Упрошћавамо корен:

t_{1,2} = \frac{574 \pm 8\sqrt{410}}{2} = 287 \pm 4\sqrt{410}

Узимајући да је $b > c ,$ добијамо вредности за $b^2$ и $c^2 :$

b^2 = 287 + 4\sqrt{410} \\ c^2 = 287 - 4\sqrt{410}

Одавде налазимо дужине страница $b$ и $c :$

b = \sqrt{287 + 4\sqrt{410}} \\ c = \sqrt{287 - 4\sqrt{410}}

Да бисмо нашли преостале углове $\beta$ и $\gamma ,$ користићемо синусну теорему. Прво рачунамо $\sin \alpha$ преко $\tan \alpha :$

\sin \alpha = \frac{\tan \alpha}{\sqrt{1 + \tan^2 \alpha}} = \frac{\frac{4}{5}}{\sqrt{1 + \frac{16}{25}}} = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{\sqrt{41}}{5}} = \frac{4}{\sqrt{41}}

Примењујемо синусну теорему за угао $\beta :$

\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} \implies \sin \beta = \frac{b \sin \alpha}{a}

Замењујемо познате вредности:

\sin \beta = \frac{\sqrt{287 + 4\sqrt{410}} \cdot \frac{4}{\sqrt{41}}}{12} = \frac{\sqrt{287 + 4\sqrt{410}}}{3\sqrt{41}}

Слично, за угао $\gamma$ важи:

\sin \gamma = \frac{c \sin \alpha}{a} = \frac{\sqrt{287 - 4\sqrt{410}}}{3\sqrt{41}}

Коначна решења за углове су:

\beta = \arcsin \left( \frac{\sqrt{287 + 4\sqrt{410}}}{3\sqrt{41}} \right) \\ \gamma = \arcsin \left( \frac{\sqrt{287 - 4\sqrt{410}}}{3\sqrt{41}} \right)

2971.Sinusna i kosinusna teorema i primena