TEKST ZADATKA
Ako je površina trougla P = 15 3 4 , P = \frac{15\sqrt{3}}{4} , P = 4 15 3 , poluprečnik opisanog kruga R = 7 3 3 , R = \frac{7\sqrt{3}}{3} , R = 3 7 3 , a najmanja stranica a = 3 , a = 3 , a = 3 , naći dužine ostalih stranica trougla.
REŠENJE ZADATKA
Na osnovu sinusne teoreme, možemo odrediti sinus ugla α \alpha α koji se nalazi naspram stranice a . a . a .
a sin α = 2 R ⟹ sin α = a 2 R \frac{a}{\sin \alpha} = 2R \implies \sin \alpha = \frac{a}{2R} sin α a = 2 R ⟹ sin α = 2 R a Zamenom poznatih vrednosti računamo sin α . \sin \alpha . sin α .
sin α = 3 2 ⋅ 7 3 3 = 3 14 3 3 = 9 14 3 = 9 3 14 ⋅ 3 = 3 3 14 \sin \alpha = \frac{3}{2 \cdot \frac{7\sqrt{3}}{3}} = \frac{3}{\frac{14\sqrt{3}}{3}} = \frac{9}{14\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{14 \cdot 3} = \frac{3\sqrt{3}}{14} sin α = 2 ⋅ 3 7 3 3 = 3 14 3 3 = 14 3 9 = 14 ⋅ 3 9 3 = 14 3 3 Pošto je a a a najmanja stranica trougla, ugao α \alpha α mora biti oštar, što znači da je cos α > 0. \cos \alpha > 0 . cos α > 0. Računamo cos α . \cos \alpha . cos α .
cos α = 1 − sin 2 α = 1 − ( 3 3 14 ) 2 = 1 − 27 196 = 169 196 = 13 14 \cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - \left(\frac{3\sqrt{3}}{14}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{27}{196}} = \sqrt{\frac{169}{196}} = \frac{13}{14} cos α = 1 − sin 2 α = 1 − ( 14 3 3 ) 2 = 1 − 196 27 = 196 169 = 14 13 Koristimo formulu za površinu trougla kako bismo odredili proizvod stranica b b b i c . c . c .
P = b c sin α 2 ⟹ b c = 2 P sin α P = \frac{bc \sin \alpha}{2} \implies bc = \frac{2P}{\sin \alpha} P = 2 b c sin α ⟹ b c = sin α 2 P Zamenom vrednosti za površinu i sinus ugla računamo b c . bc . b c .
b c = 2 ⋅ 15 3 4 3 3 14 = 15 3 2 3 3 14 = 15 ⋅ 14 2 ⋅ 3 = 5 ⋅ 7 = 35 bc = \frac{2 \cdot \frac{15\sqrt{3}}{4}}{\frac{3\sqrt{3}}{14}} = \frac{\frac{15\sqrt{3}}{2}}{\frac{3\sqrt{3}}{14}} = \frac{15 \cdot 14}{2 \cdot 3} = 5 \cdot 7 = 35 b c = 14 3 3 2 ⋅ 4 15 3 = 14 3 3 2 15 3 = 2 ⋅ 3 15 ⋅ 14 = 5 ⋅ 7 = 35 Sada primenjujemo kosinusnu teoremu za stranicu a a a kako bismo našli zbir kvadrata stranica b b b i c . c . c .
a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos α a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos α Zamenom poznatih vrednosti dobijamo b 2 + c 2 . b^2 + c^2 . b 2 + c 2 .
3 2 = b 2 + c 2 − 2 ⋅ 35 ⋅ 13 14 ⟹ 9 = b 2 + c 2 − 5 ⋅ 13 ⟹ b 2 + c 2 = 9 + 65 = 74 3^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot 35 \cdot \frac{13}{14} \implies 9 = b^2 + c^2 - 5 \cdot 13 \implies b^2 + c^2 = 9 + 65 = 74 3 2 = b 2 + c 2 − 2 ⋅ 35 ⋅ 14 13 ⟹ 9 = b 2 + c 2 − 5 ⋅ 13 ⟹ b 2 + c 2 = 9 + 65 = 74 Dobili smo sistem jednačina sa nepoznatima b b b i c . c . c .
{ b c = 35 b 2 + c 2 = 74 \begin{cases} bc = 35 \\ b^2 + c^2 = 74 \end{cases} { b c = 35 b 2 + c 2 = 74 Ovaj sistem možemo rešiti tako što ćemo izračunati kvadrat zbira i kvadrat razlike stranica b b b i c . c . c .
( b + c ) 2 = b 2 + c 2 + 2 b c = 74 + 2 ⋅ 35 = 144 ( b − c ) 2 = b 2 + c 2 − 2 b c = 74 − 2 ⋅ 35 = 4 \begin{aligned} (b+c)^2 &= b^2 + c^2 + 2bc = 74 + 2 \cdot 35 = 144 \\ (b-c)^2 &= b^2 + c^2 - 2bc = 74 - 2 \cdot 35 = 4 \end{aligned} ( b + c ) 2 ( b − c ) 2 = b 2 + c 2 + 2 b c = 74 + 2 ⋅ 35 = 144 = b 2 + c 2 − 2 b c = 74 − 2 ⋅ 35 = 4 Pošto su b b b i c c c stranice trougla, njihov zbir mora biti pozitivan ( b + c = 12 b+c = 12 b + c = 12 ). Bez umanjenja opštosti možemo pretpostaviti da je b > c , b > c , b > c , pa je razlika pozitivna ( b − c = 2 b-c = 2 b − c = 2 ).
{ b + c = 12 b − c = 2 \begin{cases} b+c = 12 \\ b-c = 2 \end{cases} { b + c = 12 b − c = 2 Sabiranjem i oduzimanjem ovih jednačina dobijamo dužine preostalih stranica.
2 b = 14 ⟹ b = 7 , 2 c = 10 ⟹ c = 5 2b = 14 \implies b = 7, \quad 2c = 10 \implies c = 5 2 b = 14 ⟹ b = 7 , 2 c = 10 ⟹ c = 5