2982.

Sinusna i kosinusna teorema i primena

TEKST ZADATKA

Rešiti trougao ako su dati njegovi elementi: S,b+c,α S, b + c, \alpha ;

REŠENJE ZADATKA

Koristeći formulu za površinu trougla, možemo izraziti proizvod stranica b b i c. c .

S=12bcsin⁡α  ⟹  bc=2Ssin⁡αS = \frac{1}{2}bc \sin \alpha \implies bc = \frac{2S}{\sin \alpha}

Sada imamo zbir b+c b+c i proizvod bc. bc . Stranice b b i c c su rešenja kvadratne jednačine po pomoćnoj promenljivoj t. t .

t2−(b+c)t+bc=0t^2 - (b+c)t + bc = 0

Zamenom izraza za bc bc dobijamo jednačinu iz koje računamo b b i c. c .

t2−(b+c)t+2Ssin⁡α=0t^2 - (b+c)t + \frac{2S}{\sin \alpha} = 0

Rešavanjem ove kvadratne jednačine dobijamo dužine stranica b b i c. c .

t1,2=(b+c)±(b+c)2−8Ssin⁡α2t_{1,2} = \frac{(b+c) \pm \sqrt{(b+c)^2 - \frac{8S}{\sin \alpha}}}{2}

Stranicu a a računamo pomoću kosinusne teoreme. Prvo ćemo izraziti zbir kvadrata b2+c2 b^2 + c^2 preko kvadrata zbira i proizvoda.

a2=b2+c2−2bccos⁡α=(b+c)2−2bc−2bccos⁡αa^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha = (b+c)^2 - 2bc - 2bc \cos \alpha

Grupisanjem članova i zamenom bc=2Ssin⁡α bc = \frac{2S}{\sin \alpha} dobijamo izraz za a2. a^2 .

a2=(b+c)2−2bc(1+cos⁡α)=(b+c)2−4S(1+cos⁡α)sin⁡αa^2 = (b+c)^2 - 2bc(1 + \cos \alpha) = (b+c)^2 - \frac{4S(1 + \cos \alpha)}{\sin \alpha}

Koristeći trigonometrijske identitete za polovinu ugla 1+cos⁡α=2cos⁡2α2 1 + \cos \alpha = 2\cos^2 \frac{\alpha}{2} i sin⁡α=2sin⁡α2cos⁡α2, \sin \alpha = 2\sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} , razlomak se može uprostiti.

1+cos⁡αsin⁡α=2cos⁡2α22sin⁡α2cos⁡α2=cot⁡α2\frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{2\cos^2 \frac{\alpha}{2}}{2\sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}} = \cot \frac{\alpha}{2}

Zamenom ovog identiteta dobijamo konačnu formulu za stranicu a. a .

a=(b+c)2−4Scot⁡α2a = \sqrt{(b+c)^2 - 4S \cot \frac{\alpha}{2}}

Preostale uglove β \beta i γ \gamma računamo pomoću sinusne teoreme, s obzirom na to da su sada poznate sve tri stranice i ugao α. \alpha .

sin⁡β=bsin⁡αa,sin⁡γ=csin⁡αa\sin \beta = \frac{b \sin \alpha}{a}, \quad \sin \gamma = \frac{c \sin \alpha}{a}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti