2988.

1011

TEKST ZADATKA

Naći ugao između dijagonala pravougaonika čija je površina 100 cm2, 100 \text{ cm}^2 , a dijagonala ima dužinu 21 cm. 21 \text{ cm} .

REŠENJE ZADATKA

Dijagonale pravougaonika su jednake dužine i polove se. Označimo dužinu dijagonale sa d=21 cm, d = 21 \text{ cm} , a površinu sa P=100 cm2. P = 100 \text{ cm}^2 .

Dijagonale dele pravougaonik na četiri trougla jednakih površina. Površina jednog takvog trougla je četvrtina ukupne površine pravougaonika.

P△=P4=1004=25 cm2P_{\triangle} = \frac{P}{4} = \frac{100}{4} = 25 \text{ cm}^2

Neka je φ \varphi ugao između dijagonala. Posmatrajmo jedan od trouglova koji formiraju dijagonale. Njegove dve stranice su polovine dijagonala, odnosno d2, \frac{d}{2} , a ugao između njih je φ. \varphi .

d2=212=10.5 cm\frac{d}{2} = \frac{21}{2} = 10.5 \text{ cm}

Površina ovog trougla se može izraziti pomoću formule za površinu trougla kada su poznate dve stranice i ugao između njih.

P△=12⋅d2⋅d2⋅sin⁡φP_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{2} \cdot \frac{d}{2} \cdot \sin \varphi

Zamenjujemo poznate vrednosti u formulu za površinu trougla.

25=12⋅212⋅212⋅sin⁡φ25 = \frac{1}{2} \cdot \frac{21}{2} \cdot \frac{21}{2} \cdot \sin \varphi

Sređujemo izraz na desnoj strani jednačine.

25=12⋅4414⋅sin⁡φ25 = \frac{1}{2} \cdot \frac{441}{4} \cdot \sin \varphi

Množenjem razlomaka dobijamo:

25=4418⋅sin⁡φ25 = \frac{441}{8} \cdot \sin \varphi

Množimo celu jednačinu sa 8 8 kako bismo se oslobodili razlomka.

200=441⋅sin⁡φ200 = 441 \cdot \sin \varphi

Izražavamo sin⁡φ \sin \varphi deljenjem sa 441. 441 .

sin⁡φ=200441\sin \varphi = \frac{200}{441}

Ugao φ \varphi nalazimo primenom inverzne sinusne funkcije (arkus sinus).

φ=arcsin⁡(200441)\varphi = \arcsin \left( \frac{200}{441} \right)