2989.

Sinusna i kosinusna teorema i primena

TEKST ZADATKA

Rešiti trougao ako su dati njegovi elementi: b+c,a,β−γ. b + c, a, \beta - \gamma .

REŠENJE ZADATKA

Prema sinusnoj teoremi, stranice trougla možemo izraziti preko stranice a a i uglova trougla.

b=asin⁡βsin⁡α,c=asin⁡γsin⁡αb = \frac{a \sin \beta}{\sin \alpha}, \quad c = \frac{a \sin \gamma}{\sin \alpha}

Sabiranjem ovih jednakosti dobijamo izraz za zbir stranica b+c. b+c .

b+c=a(sin⁡β+sin⁡γ)sin⁡αb + c = \frac{a (\sin \beta + \sin \gamma)}{\sin \alpha}

Primenjujemo trigonometrijsku formulu za transformaciju zbira sinusa u proizvod.

sin⁡β+sin⁡γ=2sin⁡β+γ2cos⁡β−γ2\sin \beta + \sin \gamma = 2 \sin \frac{\beta + \gamma}{2} \cos \frac{\beta - \gamma}{2}

Kako je zbir uglova u trouglu α+β+γ=180∘, \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ , važi β+γ2=90∘−α2. \frac{\beta + \gamma}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2} . Zbog toga je sin⁡β+γ2=cos⁡α2. \sin \frac{\beta + \gamma}{2} = \cos \frac{\alpha}{2} . Takođe, primenjujemo formulu za sinus dvostrukog ugla na imenilac.

sin⁡α=2sin⁡α2cos⁡α2\sin \alpha = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}

Zamenom ovih izraza u jednačinu za b+c b+c dobijamo sledeći oblik:

b+c=a⋅2cos⁡α2cos⁡β−γ22sin⁡α2cos⁡α2b + c = \frac{a \cdot 2 \cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta - \gamma}{2}}{2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}}

Skraćivanjem razlomka dobijamo poznatu Molvajdovu formulu, iz koje možemo izraziti sin⁡α2. \sin \frac{\alpha}{2} .

sin⁡α2=acos⁡β−γ2b+c\sin \frac{\alpha}{2} = \frac{a \cos \frac{\beta - \gamma}{2}}{b + c}

Pošto su elementi a, a , b+c b+c i β−γ \beta-\gamma poznati, iz prethodne jednačine računamo ugao α. \alpha . Zatim, iz zbira uglova u trouglu nalazimo zbir preostala dva ugla.

β+γ=180∘−α\beta + \gamma = 180^\circ - \alpha

Sada imamo sistem od dve linearne jednačine sa nepoznatima β \beta i γ, \gamma , gde je razlika β−γ \beta - \gamma data u zadatku. Rešavanjem ovog sistema nalazimo uglove β \beta i γ. \gamma .

{β+γ=180∘−αβ−γ=dato\begin{cases} \beta + \gamma = 180^\circ - \alpha \\ \beta - \gamma = \text{dato} \end{cases}

Na kraju, kada su poznati svi uglovi i stranica a, a , preostale stranice b b i c c računamo direktno iz sinusne teoreme.

b=asin⁡βsin⁡α,c=asin⁡γsin⁡αb = \frac{a \sin \beta}{\sin \alpha}, \quad c = \frac{a \sin \gamma}{\sin \alpha}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti