3150.

51.g

TEKST ZADATKA

Dokazati skupovne jednakosti:

A∪(B∖C)=(A∪B)∖(C∖A)A \cup (B \setminus C) = (A \cup B) \setminus (C \setminus A)
REŠENJE ZADATKA

Za dokazivanje ove jednakosti koristićemo definiciju razlike skupova: X∖Y=X∩Yc. X \setminus Y = X \cap Y^c .

Transformišemo levu stranu jednakosti primenom definicije razlike skupova:

A∪(B∖C)=A∪(B∩Cc)A \cup (B \setminus C) = A \cup (B \cap C^c)

Primenjujemo distributivni zakon za uniju u odnosu na presek na dobijeni izraz:

A∪(B∩Cc)=(A∪B)∩(A∪Cc)A \cup (B \cap C^c) = (A \cup B) \cap (A \cup C^c)

Sada transformišemo desnu stranu jednakosti. Prvo primenjujemo definiciju razlike na unutrašnju zagradu, a zatim na spoljašnju:

(A∪B)∖(C∖A)=(A∪B)∩(C∩Ac)c(A \cup B) \setminus (C \setminus A) = (A \cup B) \cap (C \cap A^c)^c

Primenjujemo De Morganov zakon na izraz (C∩Ac)c: (C \cap A^c)^c :

(C∩Ac)c=Cc∪(Ac)c(C \cap A^c)^c = C^c \cup (A^c)^c

Kako je komplement komplementa sam skup ((Ac)c=A (A^c)^c = A ), a unija je komutativna operacija, dobijamo:

Cc∪(Ac)c=Cc∪A=A∪CcC^c \cup (A^c)^c = C^c \cup A = A \cup C^c

Zamenjujemo dobijeni rezultat nazad u izraz za desnu stranu:

(A∪B)∩(C∩Ac)c=(A∪B)∩(A∪Cc)(A \cup B) \cap (C \cap A^c)^c = (A \cup B) \cap (A \cup C^c)

Upoređivanjem transformisane leve i desne strane, vidimo da su izrazi identični, čime je jednakost dokazana:

A∪(B∖C)=(A∪B)∖(C∖A)A \cup (B \setminus C) = (A \cup B) \setminus (C \setminus A)