952.

Stepen čiji je izložilac ceo broj

TEKST ZADATKA

Uprostiti dati algebarski izraz uz uslove xy≠0 xy \neq 0 i x≠−y: x \neq -y :

(x−1+y−1yx−1+xy−1)−1+(x−1+y−12)−1−x−1−y−1x−1y−1\left( \frac{x^{-1} + y^{-1}}{yx^{-1} + xy^{-1}} \right)^{-1} + \left( \frac{x^{-1} + y^{-1}}{2} \right)^{-1} - \frac{x^{-1} - y^{-1}}{x^{-1}y^{-1}}
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo transformisati negativne stepene u razlomke koristeći pravilo a−1=1a a^{-1} = \frac{1}{a} unutar svakog člana.

x−1=1x,y−1=1yx^{-1} = \frac{1}{x}, \quad y^{-1} = \frac{1}{y}

Sredimo prvi sabirak. Prvo transformišemo brojilac i imenilac unutar zagrade:

1x+1yy⋅1x+x⋅1y=x+yxyyx+xy=x+yxyy2+x2xy=x+yx2+y2\frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}{y \cdot \frac{1}{x} + x \cdot \frac{1}{y}} = \frac{\frac{x+y}{xy}}{\frac{y}{x} + \frac{x}{y}} = \frac{\frac{x+y}{xy}}{\frac{y^2 + x^2}{xy}} = \frac{x+y}{x^2+y^2}

Sada primenimo spoljni stepen -1 na prvi sabirak (recipročna vrednost):

(x+yx2+y2)−1=x2+y2x+y\left( \frac{x+y}{x^2+y^2} \right)^{-1} = \frac{x^2+y^2}{x+y}

Sredimo drugi sabirak. Prvo saberemo razlomke u brojiocu:

(1x+1y2)−1=(x+yxy2)−1=(x+y2xy)−1=2xyx+y\left( \frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}{2} \right)^{-1} = \left( \frac{\frac{x+y}{xy}}{2} \right)^{-1} = \left( \frac{x+y}{2xy} \right)^{-1} = \frac{2xy}{x+y}

Sredimo treći sabirak (umanjilac). Primetimo da je imenilac x−1y−1=1xy: x^{-1}y^{-1} = \frac{1}{xy} :

1x−1y1xy=y−xxy1xy=y−x\frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}}{\frac{1}{xy}} = \frac{\frac{y-x}{xy}}{\frac{1}{xy}} = y - x

Sada spojimo sve sređene delove u jedan izraz:

x2+y2x+y+2xyx+y−(y−x)\frac{x^2 + y^2}{x + y} + \frac{2xy}{x + y} - (y - x)

Saberemo prva dva člana jer imaju iste imenioce:

x2+y2+2xyx+y−(y−x)=(x+y)2x+y−(y−x)\frac{x^2 + y^2 + 2xy}{x + y} - (y - x) = \frac{(x+y)^2}{x+y} - (y - x)

Skratimo razlomak sa (x+y) (x+y) i oslobodimo se zagrade pazeći na znak minus:

(x+y)−(y−x)=x+y−y+x=2x(x + y) - (y - x) = x + y - y + x = 2x

Konačno rešenje uprošćenog izraza je:

2x2x

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti