953.

Stepen čiji je izložilac ceo broj

TEKST ZADATKA

Uprostiti dati racionalni algebarski izraz uz uslove ab≠0 ab \neq 0 i a≠±b: a \neq \pm b :

(ab−1+1)2ab−1−a−1b⋅a3b−3−1a2b−2+ab−1+1:a3b−3+1ab−1+a−1b−1\frac{(ab^{-1} + 1)^2}{ab^{-1} - a^{-1}b} \cdot \frac{a^3b^{-3} - 1}{a^2b^{-2} + ab^{-1} + 1} : \frac{a^3b^{-3} + 1}{ab^{-1} + a^{-1}b - 1}
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo uvesti smenu t=ab−1=ab t = ab^{-1} = \frac{a}{b} kako bismo pojednostavili zapis. Primetimo da je a−1b=ba=1t. a^{-1}b = \frac{b}{a} = \frac{1}{t} . Izraz sada postaje:

(t+1)2t−1t⋅t3−1t2+t+1:t3+1t+1t−1\frac{(t + 1)^2}{t - \frac{1}{t}} \cdot \frac{t^3 - 1}{t^2 + t + 1} : \frac{t^3 + 1}{t + \frac{1}{t} - 1}

Sredimo razlomke unutar glavnih razlomaka (traženje zajedničkog imenioca):

(t+1)2t2−1t⋅t3−1t2+t+1:t3+1t2−t+1t\frac{(t + 1)^2}{\frac{t^2 - 1}{t}} \cdot \frac{t^3 - 1}{t^2 + t + 1} : \frac{t^3 + 1}{\frac{t^2 - t + 1}{t}}

Sredimo dvojne razlomke i primenimo formule za razliku i zbir kubova, kao i razliku kvadrata:

t(t+1)2(t−1)(t+1)⋅(t−1)(t2+t+1)t2+t+1:(t+1)(t2−t+1)t2−t+1t\frac{t(t + 1)^2}{(t - 1)(t + 1)} \cdot \frac{(t - 1)(t^2 + t + 1)}{t^2 + t + 1} : \frac{(t + 1)(t^2 - t + 1)}{\frac{t^2 - t + 1}{t}}

Izvršimo skraćivanje faktora u okviru svakog razlomka:

t(t+1)t−1⋅(t−1):t(t+1)\frac{t(t + 1)}{t - 1} \cdot (t - 1) : t(t + 1)

Sada pomnožimo prva dva dela i pretvorimo deljenje u množenje recipročnom vrednošću:

t(t+1)⋅1t(t+1)t(t + 1) \cdot \frac{1}{t(t + 1)}

Nakon finalnog skraćivanja, dobijamo konačan rezultat:

11

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti