1192. Stepen sa racionalnim izložiocem

Da bismo uprostili izraz, najlakše je prevesti sve korene u stepene sa racionalnim izložiocima koristeći pravilo $\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}} .$

x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}} \cdot \left(x \cdot x^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{3}}

Oslobađamo se zagrada množenjem izložilaca. Svaki faktor dobija izložilac koji je proizvod svih stepena pod kojima se nalazi.

x^1 \cdot x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}}

Množenjem razlomaka u izložiocima dobijamo:

x^1 \cdot x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{4}} \cdot x^{\frac{1}{12}} \cdot x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{1}{6}}

Kada množimo stepene sa istom osnovom, njihove izložioce sabiramo prema pravilu $x^a \cdot x^b = x^{a+b} .$

x^{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{12} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}}

Računamo zbir razlomaka u izložiocu tako što ih svodimo na zajednički imenilac, koji iznosi 12.

1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{12} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{12 + 6 + 3 + 1 + 4 + 2}{12}

Sabiramo brojeve u brojiocu i skraćujemo dobijeni razlomak:

\frac{28}{12} = \frac{7}{3}

Vraćamo dobijeni izložilac nazad kao stepen osnove $x .$

x^{\frac{7}{3}}

Konačan rezultat možemo zapisati u obliku korena izdvajanjem celih delova. Kako je $\frac{7}{3} = 2 + \frac{1}{3} ,$ dobijamo:

x^{2 + \frac{1}{3}} = x^2 \cdot x^{\frac{1}{3}} = x^2 \sqrt[3]{x}

1192.Stepen sa racionalnim izložiocem