1194.

Stepen sa racionalnim izložiocem

TEKST ZADATKA

Uprostiti sledeći izraz, pod uslovom da su a,b>0: a, b > 0 :

(a4/35)3/2(a45)3⋅(aa2b3)4(ab3)6\frac{(\sqrt[5]{a^{4/3}})^{3/2}}{(\sqrt[5]{a^4})^3} \cdot \frac{(\sqrt{a \sqrt[3]{a^2 b}})^4}{(\sqrt[3]{a \sqrt{b}})^6}
REŠENJE ZADATKA

Posmatrajmo prvo levi razlomak. Korene možemo zapisati preko racionalnih izložilaca koristeći pravilo xmn=xmn: \sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}} :

(a43⋅15)32(a45)3\frac{(a^{\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{5}})^{\frac{3}{2}}}{(a^{\frac{4}{5}})^3}

Množenjem izložilaca u brojiocu i imeniocu, dobijamo:

a415⋅32a125=a25a125\frac{a^{\frac{4}{15} \cdot \frac{3}{2}}}{a^{\frac{12}{5}}} = \frac{a^{\frac{2}{5}}}{a^{\frac{12}{5}}}

Deljenjem stepena istih osnova oduzimamo izložioce, pa se levi razlomak uprošćava u:

a25−125=a−105=a−2a^{\frac{2}{5} - \frac{12}{5}} = a^{-\frac{10}{5}} = a^{-2}

Sada posmatrajmo desni razlomak. Iskoristićemo pravila za stepenovanje korena: (x)4=x2 (\sqrt{x})^4 = x^2 i (x3)6=x2. (\sqrt[3]{x})^6 = x^2 . Primenjujući ovo na brojilac i imenilac dobijamo:

(aa2b3)2(ab)2\frac{(a \sqrt[3]{a^2 b})^2}{(a \sqrt{b})^2}

Kvadriramo izraze u brojiocu i imeniocu:

a2(a2b3)2a2(b)2=a2(a2b)23a2b\frac{a^2 (\sqrt[3]{a^2 b})^2}{a^2 (\sqrt{b})^2} = \frac{a^2 (a^2 b)^{\frac{2}{3}}}{a^2 b}

Skraćujemo a2 a^2 u brojiocu i imeniocu i primenjujemo stepenovanje na zagradu u brojiocu:

a43b23b\frac{a^{\frac{4}{3}} b^{\frac{2}{3}}}{b}

Deljenjem stepena sa osnovom b b dobijamo uprošćen desni razlomak:

a43b23−1=a43b−13a^{\frac{4}{3}} b^{\frac{2}{3} - 1} = a^{\frac{4}{3}} b^{-\frac{1}{3}}

Sada množimo uprošćeni levi i desni deo izraza:

a−2⋅a43b−13a^{-2} \cdot a^{\frac{4}{3}} b^{-\frac{1}{3}}

Sabiramo izložioce za osnovu a a (−2+43=−23 -2 + \frac{4}{3} = -\frac{2}{3} ) i zapisujemo konačan rezultat u obliku korena:

a−23b−13=(a2b)−13=1a2b3a^{-\frac{2}{3}} b^{-\frac{1}{3}} = (a^2 b)^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{a^2 b}}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti