1214.

Stepen sa racionalnim izložiocem

TEKST ZADATKA

Uprosti izraz uz uslov da je x=4(a−1): x = 4(a - 1) :

E=(a+x1/2)1/2+(a−x1/2)1/2E = (a + x^{1/2})^{1/2} + (a - x^{1/2})^{1/2}
REŠENJE ZADATKA

Prvo, zapisujemo dati izraz koristeći oznake za kvadratni koren umesto razlomačkih stepena:

E=a+x+a−xE = \sqrt{a + \sqrt{x}} + \sqrt{a - \sqrt{x}}

Da bi koren bio definisan u skupu realnih brojeva, mora važiti x≥0, x \ge 0 , što znači da je 4(a−1)≥0, 4(a - 1) \ge 0 , odnosno a≥1. a \ge 1 . Računamo vrednost za x \sqrt{x} zamenom datog uslova:

x=4(a−1)=2a−1\sqrt{x} = \sqrt{4(a - 1)} = 2\sqrt{a - 1}

Zamenjujemo dobijeni koren nazad u početni izraz:

E=a+2a−1+a−2a−1E = \sqrt{a + 2\sqrt{a - 1}} + \sqrt{a - 2\sqrt{a - 1}}

Da bismo se oslobodili spoljašnjih korena, izraze pod korenom zapisujemo kao kvadrate binoma. Primetimo da se sabirak a a može zapisati kao (a−1)+1: (a - 1) + 1 :

a±2a−1=(a−1)±2a−1+1a \pm 2\sqrt{a - 1} = (a - 1) \pm 2\sqrt{a - 1} + 1

Ovo prepoznajemo kao kvadrat binoma oblika I2±2⋅I⋅II+II2: I^2 \pm 2 \cdot I \cdot II + II^2 :

(a−1)±2a−1+1=(a−1±1)2(a - 1) \pm 2\sqrt{a - 1} + 1 = (\sqrt{a - 1} \pm 1)^2

Primenjujemo ovu transformaciju na naš glavni izraz:

E=(a−1+1)2+(a−1−1)2E = \sqrt{(\sqrt{a - 1} + 1)^2} + \sqrt{(\sqrt{a - 1} - 1)^2}

Koristeći osobinu da je y2=∣y∣, \sqrt{y^2} = |y| , oslobađamo se spoljašnjih korena:

E=∣a−1+1∣+∣a−1−1∣E = |\sqrt{a - 1} + 1| + |\sqrt{a - 1} - 1|

Pošto je a≥1, a \ge 1 , važi a−1≥0. \sqrt{a - 1} \ge 0 . Prvi izraz pod apsolutnom vrednošću je uvek pozitivan, pa apsolutna zagrada nije potrebna:

E=a−1+1+∣a−1−1∣E = \sqrt{a - 1} + 1 + |\sqrt{a - 1} - 1|

Za oslobađanje od druge apsolutne vrednosti, analiziramo znak izraza a−1−1 \sqrt{a - 1} - 1 kroz dva moguća slučaja.

**Prvi slučaj:** Za 1≤a<2 1 \le a < 2 važi a−1<1. \sqrt{a - 1} < 1 . Izraz pod apsolutnom vrednošću je negativan, pa menja znak prilikom oslobađanja zagrade:

E=a−1+1−(a−1−1)=2E = \sqrt{a - 1} + 1 - (\sqrt{a - 1} - 1) = 2

**Drugi slučaj:** Za a≥2 a \ge 2 važi a−1≥1. \sqrt{a - 1} \ge 1 . Izraz pod apsolutnom vrednošću je nenegativan, pa znak ostaje isti:

E=a−1+1+(a−1−1)=2a−1E = \sqrt{a - 1} + 1 + (\sqrt{a - 1} - 1) = 2\sqrt{a - 1}

Konačno rešenje zapisujemo kao sistem u zavisnosti od vrednosti parametra a: a :

E={2,1≤a<22a−1,a≥2E = \begin{cases} 2, & 1 \le a < 2 \\ 2\sqrt{a - 1}, & a \ge 2 \end{cases}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti