1213.

Stepen sa racionalnim izložiocem

TEKST ZADATKA

Izračunati vrednost izraza za x=32: x = \frac{\sqrt{3}}{2} :

1+x1+1+x−1−x1−1−x\frac{1 + x}{1 + \sqrt{1 + x}} - \frac{1 - x}{1 - \sqrt{1 - x}}
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo odrediti vrednost izraza 1+x 1+x za zadato x, x , a zatim ćemo ga transformisati u savršen kvadrat kako bismo se oslobodili spoljašnjeg korena.

1+x=1+32=2+321 + x = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2}

Da bismo dobili izraz koji je potpuni kvadrat, proširujemo razlomak sa 2 i grupišemo članove u kvadrat binoma:

2+32=4+234=(3)2+23⋅1+124=(3+1)24\frac{2 + \sqrt{3}}{2} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{4} = \frac{(\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3} \cdot 1 + 1^2}{4} = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{4}

Sada računamo kvadratni koren ovog izraza. Pošto je 3+1>0, \sqrt{3} + 1 > 0 , apsolutna vrednost nije potrebna:

1+x=(3+1)24=3+12\sqrt{1 + x} = \sqrt{\frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{4}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2}

Na isti način računamo vrednost izraza 1−x 1-x i pripremamo ga za korenovanje:

1−x=1−32=2−32=4−234=(3−1)241 - x = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2 - \sqrt{3}}{2} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{4} = \frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{4}

Računamo koren iz 1−x: 1-x :

1−x=(3−1)24=3−12\sqrt{1 - x} = \sqrt{\frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{4}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}

Sada računamo vrednost prvog razlomka iz početnog izraza. Zamenjujemo dobijene vrednosti za 1+x 1+x i 1+x: \sqrt{1+x} :

1+x1+1+x=2+321+3+12=2+323+32=2+33+3\frac{1 + x}{1 + \sqrt{1 + x}} = \frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{3} + 1}{2}} = \frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{\frac{3 + \sqrt{3}}{2}} = \frac{2 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}

Racionališemo dobijeni razlomak množenjem brojioca i imenioca sa konjugovanim izrazom 3−3: 3 - \sqrt{3} :

(2+3)(3−3)(3+3)(3−3)=6−23+33−332−(3)2=3+39−3=3+36\frac{(2 + \sqrt{3})(3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3})(3 - \sqrt{3})} = \frac{6 - 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 3}{3^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{3 + \sqrt{3}}{9 - 3} = \frac{3 + \sqrt{3}}{6}

Zatim računamo vrednost drugog razlomka zamenom vrednosti za 1−x 1-x i 1−x: \sqrt{1-x} :

1−x1−1−x=2−321−3−12=2−322−3+12=2−33−3\frac{1 - x}{1 - \sqrt{1 - x}} = \frac{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{3} - 1}{2}} = \frac{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{3} + 1}{2}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}

Racionališemo i drugi razlomak množenjem brojioca i imenioca sa 3+3: 3 + \sqrt{3} :

(2−3)(3+3)(3−3)(3+3)=6+23−33−332−(3)2=3−36\frac{(2 - \sqrt{3})(3 + \sqrt{3})}{(3 - \sqrt{3})(3 + \sqrt{3})} = \frac{6 + 2\sqrt{3} - 3\sqrt{3} - 3}{3^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{3 - \sqrt{3}}{6}

Konačno, oduzimamo vrednost drugog razlomka od prvog kako bismo dobili traženi rezultat:

3+36−3−36=3+3−(3−3)6\frac{3 + \sqrt{3}}{6} - \frac{3 - \sqrt{3}}{6} = \frac{3 + \sqrt{3} - (3 - \sqrt{3})}{6}

Sređujemo brojilac i dobijamo konačan rezultat:

3+3−3+36=236=33\frac{3 + \sqrt{3} - 3 + \sqrt{3}}{6} = \frac{2\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti