2400.

Svođenje trigonometrijskih funkcija na oštar ugao

TEKST ZADATKA

Uprostiti izraz:

I=(a2+b2)tg(π2+α)cos⁡(3π−α)−(a2−b2)ctg(2π−α)sin⁡(5π2−α)I = \frac{(a^2 + b^2) \text{tg}\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)}{\cos(3\pi - \alpha)} - \frac{(a^2 - b^2) \text{ctg}(2\pi - \alpha)}{\sin\left(\frac{5\pi}{2} - \alpha\right)}
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo uprostiti trigonometrijske funkcije u brojiocima i imeniocima koristeći svodna pravila. Za funkciju tg(π2+α), \text{tg}\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) , pošto je argument u drugom kvadrantu gde je tangens negativan i imamo neparan umnožak π2, \frac{\pi}{2} , funkcija prelazi u kofunkciju:

tg(π2+α)=−ctg α\text{tg}\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\text{ctg } \alpha

Za funkciju cos⁡(3π−α), \cos(3\pi - \alpha) , argument se nalazi u drugom kvadrantu (jer je 3π 3\pi isto što i π \pi u smislu periodičnosti). Kosinus je u drugom kvadrantu negativan, a funkcija ostaje ista jer je u pitanju ceo broj π: \pi :

cos⁡(3π−α)=cos⁡(π−α)=−cos⁡α\cos(3\pi - \alpha) = \cos(\pi - \alpha) = -\cos \alpha

Za funkciju ctg(2π−α), \text{ctg}(2\pi - \alpha) , argument je u četvrtom kvadrantu gde je kotangens negativan, a funkcija ostaje ista:

ctg(2π−α)=−ctg α\text{ctg}(2\pi - \alpha) = -\text{ctg } \alpha

Za funkciju sin⁡(5π2−α), \sin\left(\frac{5\pi}{2} - \alpha\right) , argument 5π2−α \frac{5\pi}{2} - \alpha je ekvivalentan sa 2π+π2−α, 2\pi + \frac{\pi}{2} - \alpha , što odgovara prvom kvadrantu. Sinus je tu pozitivan, a zbog neparnog umnoška π2 \frac{\pi}{2} prelazi u kosinus:

sin⁡(5π2−α)=sin⁡(π2−α)=cos⁡α\sin\left(\frac{5\pi}{2} - \alpha\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos \alpha

Sada zamenjujemo dobijene vrednosti nazad u početni izraz:

I=(a2+b2)(−ctg α)−cos⁡α−(a2−b2)(−ctg α)cos⁡αI = \frac{(a^2 + b^2) (-\text{ctg } \alpha)}{-\cos \alpha} - \frac{(a^2 - b^2) (-\text{ctg } \alpha)}{\cos \alpha}

Sređujemo znake u razlomcima. U prvom razlomku se minusi potiru, dok u drugom minus ispred razlomka i minus u brojiocu daju plus:

I=(a2+b2)ctg αcos⁡α+(a2−b2)ctg αcos⁡αI = \frac{(a^2 + b^2) \text{ctg } \alpha}{\cos \alpha} + \frac{(a^2 - b^2) \text{ctg } \alpha}{\cos \alpha}

Izvlačimo zajednički faktor ctg αcos⁡α \frac{\text{ctg } \alpha}{\cos \alpha} ispred zagrade:

I=ctg αcos⁡α((a2+b2)+(a2−b2))I = \frac{\text{ctg } \alpha}{\cos \alpha} \left( (a^2 + b^2) + (a^2 - b^2) \right)

Sređujemo izraz u zagradi i koristimo definiciju ctg α=cos⁡αsin⁡α: \text{ctg } \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} :

I=cos⁡αsin⁡αcos⁡α⋅(2a2)I = \frac{\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}}{\cos \alpha} \cdot (2a^2)

Skraćivanjem cos⁡α \cos \alpha dobijamo konačan oblik izraza:

I=1sin⁡α⋅2a2=2a2sin⁡αI = \frac{1}{\sin \alpha} \cdot 2a^2 = \frac{2a^2}{\sin \alpha}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti