2402.

Svođenje trigonometrijskih funkcija na oštar ugao

TEKST ZADATKA

Uprostiti izraz korišćenjem svođenja na oštar ugao i osnovnih trigonometrijskih identiteta:

cos⁡(π+α)sin⁡(π2+α)tgπ3sin⁡(π2−α)cos⁡(2π−α)cos⁡π6\frac{\cos(\pi + \alpha) \sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) \text{tg}\frac{\pi}{3}}{\sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) \cos(2\pi - \alpha) \cos\frac{\pi}{6}}
REŠENJE ZADATKA

Primenjujemo pravila za svođenje trigonometrijskih funkcija na oštar ugao za svaki član u brojiocu i imeniocu. Prvo posmatramo brojilac:

cos⁡(π+α)=−cos⁡α(III kvadrant, kosinus je negativan)sin⁡(π2+α)=cos⁡α(II kvadrant, sinus je pozitivan, funkcija prelazi u ko-funkciju)tgπ3=3\begin{aligned} &\cos(\pi + \alpha) = -\cos \alpha \quad (\text{III kvadrant, kosinus je negativan}) \\ &\sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = \cos \alpha \quad (\text{II kvadrant, sinus je pozitivan, funkcija prelazi u ko-funkciju}) \\ &\text{tg}\frac{\pi}{3} = \sqrt{3} \end{aligned}

Zatim određujemo vrednosti izraza u imeniocu:

sin⁡(π2−α)=cos⁡α(I kvadrant, sinus je pozitivan, funkcija prelazi u ko-funkciju)cos⁡(2π−α)=cos⁡α(IV kvadrant, kosinus je pozitivan)cos⁡π6=32\begin{aligned} &\sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos \alpha \quad (\text{I kvadrant, sinus je pozitivan, funkcija prelazi u ko-funkciju}) \\ &\cos(2\pi - \alpha) = \cos \alpha \quad (\text{IV kvadrant, kosinus je pozitivan}) \\ &\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned}

Zamenjujemo dobijene vrednosti nazad u početni izraz:

(−cos⁡α)⋅cos⁡α⋅3cos⁡α⋅cos⁡α⋅32\frac{(-\cos \alpha) \cdot \cos \alpha \cdot \sqrt{3}}{\cos \alpha \cdot \cos \alpha \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}

Sređujemo izraz skraćivanjem zajedničkih faktora cos⁡2α \cos^2 \alpha i 3: \sqrt{3} :

−3cos⁡2α32cos⁡2α=−332\frac{-\sqrt{3} \cos^2 \alpha}{\frac{\sqrt{3}}{2} \cos^2 \alpha} = \frac{-\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}

Rešavamo dvojni razlomak kako bismo dobili konačan rezultat:

−1⋅21=−2-1 \cdot \frac{2}{1} = -2

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti