2408.

Svođenje trigonometrijskih funkcija na oštar ugao

TEKST ZADATKA

Uprostiti izraz: cos⁡3(3π2+α)−sin⁡3(α−3π2)1+cos⁡(α−3π2)sin⁡(α−π2)−sin⁡(α−5π2) \frac{\cos^3\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) - \sin^3\left(\alpha - \frac{3\pi}{2}\right)}{1 + \cos\left(\alpha - \frac{3\pi}{2}\right) \sin\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right)} - \sin\left(\alpha - \frac{5\pi}{2}\right)

cos⁡3(3π2+α)−sin⁡3(α−3π2)1+cos⁡(α−3π2)sin⁡(α−π2)−sin⁡(α−5π2)\frac{\cos^3\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) - \sin^3\left(\alpha - \frac{3\pi}{2}\right)}{1 + \cos\left(\alpha - \frac{3\pi}{2}\right) \sin\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right)} - \sin\left(\alpha - \frac{5\pi}{2}\right)
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo uprostiti svaki trigonometrijski izraz pojedinačno koristeći redukcione formule. Za prvi izraz u brojiocu imamo:

cos⁡(3π2+α)=sin⁡α\cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = \sin\alpha

Za drugi izraz u brojiocu koristimo periodičnost dodavanjem 2π: 2\pi :

sin⁡(α−3π2)=sin⁡(α−3π2+2π)=sin⁡(α+π2)=cos⁡α\sin\left(\alpha - \frac{3\pi}{2}\right) = \sin\left(\alpha - \frac{3\pi}{2} + 2\pi\right) = \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right) = \cos\alpha

Slično, za prvi izraz u imeniocu dodajemo period 2π: 2\pi :

cos⁡(α−3π2)=cos⁡(α−3π2+2π)=cos⁡(α+π2)=−sin⁡α\cos\left(\alpha - \frac{3\pi}{2}\right) = \cos\left(\alpha - \frac{3\pi}{2} + 2\pi\right) = \cos\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin\alpha

Drugi izraz u imeniocu se svodi na:

sin⁡(α−π2)=−sin⁡(π2−α)=−cos⁡α\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = -\cos\alpha

Peti izraz, koji se nalazi van razlomka, uprošćavamo dodavanjem perioda 2π: 2\pi :

sin⁡(α−5π2)=sin⁡(α−5π2+2π)=sin⁡(α−π2)=−cos⁡α\sin\left(\alpha - \frac{5\pi}{2}\right) = \sin\left(\alpha - \frac{5\pi}{2} + 2\pi\right) = \sin\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right) = -\cos\alpha

Zamenjujemo dobijene vrednosti u početni izraz:

sin⁡3α−cos⁡3α1+(−sin⁡α)(−cos⁡α)−(−cos⁡α)=sin⁡3α−cos⁡3α1+sin⁡αcos⁡α+cos⁡α\frac{\sin^3\alpha - \cos^3\alpha}{1 + (-\sin\alpha)(-\cos\alpha)} - (-\cos\alpha) = \frac{\sin^3\alpha - \cos^3\alpha}{1 + \sin\alpha\cos\alpha} + \cos\alpha

Primenjujemo formulu za razliku kubova a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2) a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) na brojilac razlomka:

(sin⁡α−cos⁡α)(sin⁡2α+sin⁡αcos⁡α+cos⁡2α)1+sin⁡αcos⁡α+cos⁡α\frac{(\sin\alpha - \cos\alpha)(\sin^2\alpha + \sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha)}{1 + \sin\alpha\cos\alpha} + \cos\alpha

Koristimo osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2α+cos⁡2α=1 \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 u brojiocu:

(sin⁡α−cos⁡α)(1+sin⁡αcos⁡α)1+sin⁡αcos⁡α+cos⁡α\frac{(\sin\alpha - \cos\alpha)(1 + \sin\alpha\cos\alpha)}{1 + \sin\alpha\cos\alpha} + \cos\alpha

Skraćujemo razlomak sa 1+sin⁡αcos⁡α: 1 + \sin\alpha\cos\alpha :

sin⁡α−cos⁡α+cos⁡α\sin\alpha - \cos\alpha + \cos\alpha

Na kraju, sabiramo preostale članove da bismo dobili konačan rezultat:

sin⁡α\sin\alpha

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti