2409.

Svođenje trigonometrijskih funkcija na oštar ugao

TEKST ZADATKA

Uprostiti izraze: sin⁡6(α−π)+cos⁡6(π+α)+3cos⁡2(3π2+α)sin⁡2(α−3π2) \sin^6(\alpha - \pi) + \cos^6(\pi + \alpha) + 3\cos^2\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) \sin^2\left(\alpha - \frac{3\pi}{2}\right)

REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo primeniti redukcione formule i osobine parnosti i neparnosti trigonometrijskih funkcija na svaki član pojedinačno.

Za prvi član koristimo neparnost sinusa i redukcionu formulu sin⁡(π−α)=sin⁡α. \sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha . Zbog parnog stepena, znak minus nestaje:

sin⁡6(α−π)=(−sin⁡(π−α))6=(−sin⁡α)6=sin⁡6α\sin^6(\alpha - \pi) = (-\sin(\pi - \alpha))^6 = (-\sin\alpha)^6 = \sin^6\alpha

Za drugi član koristimo redukcionu formulu cos⁡(π+α)=−cos⁡α. \cos(\pi + \alpha) = -\cos\alpha . Zbog parnog stepena, znak minus takođe nestaje:

cos⁡6(π+α)=(−cos⁡α)6=cos⁡6α\cos^6(\pi + \alpha) = (-\cos\alpha)^6 = \cos^6\alpha

Za prvi deo trećeg člana koristimo redukcionu formulu cos⁡(3π2+α)=sin⁡α: \cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = \sin\alpha :

cos⁡2(3π2+α)=(sin⁡α)2=sin⁡2α\cos^2\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = (\sin\alpha)^2 = \sin^2\alpha

Za drugi deo trećeg člana koristimo neparnost sinusa i redukcionu formulu sin⁡(3π2−α)=−cos⁡α: \sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -\cos\alpha :

sin⁡2(α−3π2)=(−sin⁡(3π2−α))2=(−(−cos⁡α))2=cos⁡2α\sin^2\left(\alpha - \frac{3\pi}{2}\right) = \left(-\sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right)\right)^2 = (-(-\cos\alpha))^2 = \cos^2\alpha

Zamenjujemo sve dobijene vrednosti nazad u početni izraz:

sin⁡6α+cos⁡6α+3sin⁡2αcos⁡2α\sin^6\alpha + \cos^6\alpha + 3\sin^2\alpha \cos^2\alpha

Primetimo da zbir šestih stepena možemo zapisati kao zbir kubova, koristeći algebarski identitet a3+b3=(a+b)3−3ab(a+b), a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b) , gde su a=sin⁡2α a = \sin^2\alpha i b=cos⁡2α: b = \cos^2\alpha :

sin⁡6α+cos⁡6α=(sin⁡2α)3+(cos⁡2α)3=(sin⁡2α+cos⁡2α)3−3sin⁡2αcos⁡2α(sin⁡2α+cos⁡2α)\sin^6\alpha + \cos^6\alpha = (\sin^2\alpha)^3 + (\cos^2\alpha)^3 = (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)^3 - 3\sin^2\alpha \cos^2\alpha (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)

Koristeći osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2α+cos⁡2α=1, \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 , izraz se znatno uprošćava:

sin⁡6α+cos⁡6α=13−3sin⁡2αcos⁡2α⋅1=1−3sin⁡2αcos⁡2α\sin^6\alpha + \cos^6\alpha = 1^3 - 3\sin^2\alpha \cos^2\alpha \cdot 1 = 1 - 3\sin^2\alpha \cos^2\alpha

Sada zamenjujemo ovaj rezultat u izraz iz koraka 6:

(1−3sin⁡2αcos⁡2α)+3sin⁡2αcos⁡2α(1 - 3\sin^2\alpha \cos^2\alpha) + 3\sin^2\alpha \cos^2\alpha

Članovi −3sin⁡2αcos⁡2α -3\sin^2\alpha \cos^2\alpha i 3sin⁡2αcos⁡2α 3\sin^2\alpha \cos^2\alpha se potiru, pa dobijamo konačan rezultat:

11

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti