2410.

Svođenje trigonometrijskih funkcija na oštar ugao

TEKST ZADATKA

Uprostiti izraz:

3(sin⁡4(α−π)+cos⁡4(π+α))−2(sin⁡6(3π2−α)+cos⁡6(π2+α))3(\sin^4(\alpha - \pi) + \cos^4(\pi + \alpha)) - 2\left(\sin^6\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) + \cos^6\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)\right)
REŠENJE ZADATKA

Primenom adicionih formula i svojstava trigonometrijskih funkcija (periodičnost, parnost/neparnost), svodimo argumente na ugao α: \alpha :

sin⁡(α−π)=−sin⁡(π−α)=−sin⁡αcos⁡(π+α)=−cos⁡αsin⁡(3π2−α)=−cos⁡αcos⁡(π2+α)=−sin⁡α\begin{aligned} \sin(\alpha - \pi) &= -\sin(\pi - \alpha) = -\sin\alpha \\ \cos(\pi + \alpha) &= -\cos\alpha \\ \sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) &= -\cos\alpha \\ \cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) &= -\sin\alpha \end{aligned}

Zamenjujemo dobijene vrednosti u početni izraz. Pošto su svi stepeni parni, minusi se gube:

3(sin⁡4α+cos⁡4α)−2(cos⁡6α+sin⁡6α)3(\sin^4\alpha + \cos^4\alpha) - 2(\cos^6\alpha + \sin^6\alpha)

Transformišemo izraz sin⁡4α+cos⁡4α \sin^4\alpha + \cos^4\alpha dopunom do potpunog kvadrata:

sin⁡4α+cos⁡4α=(sin⁡2α+cos⁡2α)2−2sin⁡2αcos⁡2α=1−2sin⁡2αcos⁡2α\sin^4\alpha + \cos^4\alpha = (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)^2 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha

Transformišemo izraz sin⁡6α+cos⁡6α \sin^6\alpha + \cos^6\alpha koristeći formulu za zbir kubova a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2): a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) :

sin⁡6α+cos⁡6α=(sin⁡2α+cos⁡2α)(sin⁡4α−sin⁡2αcos⁡2α+cos⁡4α)\sin^6\alpha + \cos^6\alpha = (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)(\sin^4\alpha - \sin^2\alpha\cos^2\alpha + \cos^4\alpha)

Zamenjujemo osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2α+cos⁡2α=1 \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 i prethodno dobijeni izraz za zbir četvrtih stepena:

1⋅(1−2sin⁡2αcos⁡2α−sin⁡2αcos⁡2α)=1−3sin⁡2αcos⁡2α1 \cdot (1 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha - \sin^2\alpha\cos^2\alpha) = 1 - 3\sin^2\alpha\cos^2\alpha

Vraćamo transformisane delove u glavni izraz:

3(1−2sin⁡2αcos⁡2α)−2(1−3sin⁡2αcos⁡2α)3(1 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha) - 2(1 - 3\sin^2\alpha\cos^2\alpha)

Množimo i oslobađamo se zagrada:

3−6sin⁡2αcos⁡2α−2+6sin⁡2αcos⁡2α3 - 6\sin^2\alpha\cos^2\alpha - 2 + 6\sin^2\alpha\cos^2\alpha

Kada se skrate odgovarajući članovi, dobijamo konačan rezultat:

11

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti