2650.

Transformacija zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod

TEKST ZADATKA

Dokazati identitet: 1−cos⁡x=2sin⁡2x2. 1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2} .

REŠENJE ZADATKA

Da bismo dokazali identitet, koristićemo formulu za razliku kosinusa: cos⁡α−cos⁡β=−2sin⁡α+β2sin⁡α−β2. \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} . Primetimo da broj 1 1 možemo zapisati kao cos⁡0. \cos 0 .

Transformišemo levu stranu identiteta zamenom 1 1 sa cos⁡0: \cos 0 :

1−cos⁡x=cos⁡0−cos⁡x1 - \cos x = \cos 0 - \cos x

Primenjujemo formulu za razliku kosinusa gde je α=0 \alpha = 0 i β=x: \beta = x :

cos⁡0−cos⁡x=−2sin⁡0+x2sin⁡0−x2\cos 0 - \cos x = -2 \sin \frac{0 + x}{2} \sin \frac{0 - x}{2}

Sređujemo argumente funkcija unutar sinusa:

−2sin⁡x2sin⁡(−x2)-2 \sin \frac{x}{2} \sin \left( -\frac{x}{2} \right)

Koristimo osobinu neparnosti sinusne funkcije sin⁡(−α)=−sin⁡α: \sin(-\alpha) = -\sin \alpha :

−2sin⁡x2⋅(−sin⁡x2)-2 \sin \frac{x}{2} \cdot \left( -\sin \frac{x}{2} \right)

Množenjem dva negativna faktora dobijamo pozitivan rezultat i grupišemo iste funkcije:

2sin⁡x2sin⁡x2=2sin⁡2x22 \sin \frac{x}{2} \sin \frac{x}{2} = 2 \sin^2 \frac{x}{2}

Ovim smo pokazali da je leva strana identiteta jednaka desnoj, čime je dokaz završen.

1−cos⁡x=2sin⁡2x21 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti