2651.

Transformacija zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod

TEKST ZADATKA

Transformisati u proizvod sledeći izraz: sin⁡20∘+cos⁡50∘ \sin 20^\circ + \cos 50^\circ

REŠENJE ZADATKA

Da bismo primenili formule za transformaciju zbira u proizvod, potrebno je da oba člana budu iste trigonometrijske funkcije. Koristimo osobinu komplementnih uglova cos⁡α=sin⁡(90∘−α) \cos \alpha = \sin(90^\circ - \alpha) kako bismo kosinus pretvorili u sinus.

cos⁡50∘=sin⁡(90∘−50∘)=sin⁡40∘\cos 50^\circ = \sin(90^\circ - 50^\circ) = \sin 40^\circ

Sada početni izraz možemo zapisati kao zbir dva sinusa:

sin⁡20∘+sin⁡40∘\sin 20^\circ + \sin 40^\circ

Primenjujemo formulu za zbir sinusa: sin⁡α+sin⁡β=2sin⁡α+β2cos⁡α−β2. \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} . U našem slučaju je α=20∘ \alpha = 20^\circ i β=40∘. \beta = 40^\circ .

sin⁡20∘+sin⁡40∘=2sin⁡20∘+40∘2cos⁡20∘−40∘2\sin 20^\circ + \sin 40^\circ = 2 \sin \frac{20^\circ + 40^\circ}{2} \cos \frac{20^\circ - 40^\circ}{2}

Računamo vrednosti unutar argumenata funkcija:

2sin⁡60∘2cos⁡−20∘2=2sin⁡30∘cos⁡(−10∘)2 \sin \frac{60^\circ}{2} \cos \frac{-20^\circ}{2} = 2 \sin 30^\circ \cos(-10^\circ)

Koristimo činjenicu da je kosinus parna funkcija, odnosno cos⁡(−α)=cos⁡α, \cos(-\alpha) = \cos \alpha , i uvrštavamo poznatu vrednost sin⁡30∘=12. \sin 30^\circ = \frac{1}{2} .

2⋅12⋅cos⁡10∘2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos 10^\circ

Skraćivanjem faktora dobijamo konačan rezultat:

cos⁡10∘\cos 10^\circ

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti