2654.

Transformacija zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod

TEKST ZADATKA

Transformisati u proizvod sledeći trigonometrijski izraz: sin⁡x+sin⁡2x+sin⁡3x. \sin x + \sin 2x + \sin 3x .

sin⁡x+sin⁡2x+sin⁡3x\sin x + \sin 2x + \sin 3x
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo grupisati prvi i treći član izraza kako bismo primenili formulu za zbir sinusa, jer je njihova aritmetička sredina uglova jednaka srednjem članu.

(sin⁡x+sin⁡3x)+sin⁡2x(\sin x + \sin 3x) + \sin 2x

Primenjujemo formulu za zbir sinusa: sin⁡α+sin⁡β=2sin⁡α+β2cos⁡α−β2 \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} na izraz u zagradi.

sin⁡x+sin⁡3x=2sin⁡x+3x2cos⁡x−3x2\sin x + \sin 3x = 2 \sin \frac{x + 3x}{2} \cos \frac{x - 3x}{2}

Sređujemo argumente trigonometrijskih funkcija. Koristimo osobinu parnosti kosinusa: cos⁡(−x)=cos⁡x. \cos(-x) = \cos x .

2sin⁡4x2cos⁡−2x2=2sin⁡2xcos⁡(−x)=2sin⁡2xcos⁡x2 \sin \frac{4x}{2} \cos \frac{-2x}{2} = 2 \sin 2x \cos(-x) = 2 \sin 2x \cos x

Vraćamo dobijeni rezultat u početni izraz.

2sin⁡2xcos⁡x+sin⁡2x2 \sin 2x \cos x + \sin 2x

Primećujemo zajednički faktor sin⁡2x \sin 2x i izdvajamo ga ispred zagrade.

sin⁡2x(2cos⁡x+1)\sin 2x (2 \cos x + 1)

Da bismo izraz u zagradi transformisali u proizvod, broj 1 ćemo napisati kao 2⋅12, 2 \cdot \frac{1}{2} , a zatim 12 \frac{1}{2} kao cos⁡π3. \cos \frac{\pi}{3} .

sin⁡2x⋅2(cos⁡x+12)=2sin⁡2x(cos⁡x+cos⁡π3)\sin 2x \cdot 2 \left( \cos x + \frac{1}{2} \right) = 2 \sin 2x \left( \cos x + \cos \frac{\pi}{3} \right)

Sada primenjujemo formulu za zbir kosinusa: cos⁡α+cos⁡β=2cos⁡α+β2cos⁡α−β2. \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} .

2sin⁡2x⋅2cos⁡x+π32cos⁡x−π322 \sin 2x \cdot 2 \cos \frac{x + \frac{\pi}{3}}{2} \cos \frac{x - \frac{\pi}{3}}{2}

Konačno sređujemo koeficijente i argumente unutar kosinusa.

4sin⁡2xcos⁡(x2+π6)cos⁡(x2−π6)4 \sin 2x \cos \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right) \cos \left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{6} \right)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti