2653.

Transformacija zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod

TEKST ZADATKA

Pokazati da je: sin⁡(π4+α)+sin⁡(π4−α)=2cos⁡α \sin \left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right) + \sin \left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right) = \sqrt{2} \cos \alpha

REŠENJE ZADATKA

Za rešavanje ovog zadatka koristićemo formulu za zbir sinusa dva ugla:

sin⁡A+sin⁡B=2sin⁡A+B2cos⁡A−B2\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A + B}{2} \cos \frac{A - B}{2}

U našem slučaju, uglovi su:

A=π4+α,B=π4−αA = \frac{\pi}{4} + \alpha, \quad B = \frac{\pi}{4} - \alpha

Primenjujemo formulu na levu stranu jednakosti:

sin⁡(π4+α)+sin⁡(π4−α)=2sin⁡(π4+α)+(π4−α)2cos⁡(π4+α)−(π4−α)2\sin \left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right) + \sin \left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right) = 2 \sin \frac{\left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right) + \left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right)}{2} \cos \frac{\left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right) - \left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right)}{2}

Sređujemo izraze u argumentima funkcija:

(π4+α)+(π4−α)2=2π42=π4(π4+α)−(π4−α)2=2α2=α\frac{\left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right) + \left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right)}{2} = \frac{\frac{2\pi}{4}}{2} = \frac{\pi}{4} \\ \frac{\left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right) - \left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right)}{2} = \frac{2\alpha}{2} = \alpha

Zamenjujemo sređene argumente nazad u izraz:

2sin⁡π4cos⁡α2 \sin \frac{\pi}{4} \cos \alpha

Znamo da je vrednost sinusa za ugao od π4 \frac{\pi}{4} radijana:

sin⁡π4=22\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}

Uvrštavamo vrednost i dobijamo krajnji rezultat:

2⋅22cos⁡α=2cos⁡α2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cos \alpha = \sqrt{2} \cos \alpha

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti