2660.

770.b

TEKST ZADATKA

Dokazati identitet:

sin⁡α+sin⁡3α+sin⁡5αcos⁡α+cos⁡3α+cos⁡5α=tg 3α\frac{\sin \alpha + \sin 3\alpha + \sin 5\alpha}{\cos \alpha + \cos 3\alpha + \cos 5\alpha} = \text{tg } 3\alpha
REŠENJE ZADATKA

Počinjemo od leve strane identiteta. Grupišemo prvi i treći član u brojiocu i imeniocu kako bismo primenili formule za transformaciju zbira u proizvod.

L=(sin⁡5α+sin⁡α)+sin⁡3α(cos⁡5α+cos⁡α)+cos⁡3αL = \frac{(\sin 5\alpha + \sin \alpha) + \sin 3\alpha}{(\cos 5\alpha + \cos \alpha) + \cos 3\alpha}

Primenjujemo formule za zbir sinusa i zbir kosinusa: sin⁡x+sin⁡y=2sin⁡x+y2cos⁡x−y2 \sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} i cos⁡x+cos⁡y=2cos⁡x+y2cos⁡x−y2. \cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} .

sin⁡5α+sin⁡α=2sin⁡5α+α2cos⁡5α−α2=2sin⁡3αcos⁡2αcos⁡5α+cos⁡α=2cos⁡5α+α2cos⁡5α−α2=2cos⁡3αcos⁡2α\sin 5\alpha + \sin \alpha = 2 \sin \frac{5\alpha + \alpha}{2} \cos \frac{5\alpha - \alpha}{2} = 2 \sin 3\alpha \cos 2\alpha \\ \cos 5\alpha + \cos \alpha = 2 \cos \frac{5\alpha + \alpha}{2} \cos \frac{5\alpha - \alpha}{2} = 2 \cos 3\alpha \cos 2\alpha

Zamenjujemo dobijene izraze u početni razlomak.

L=2sin⁡3αcos⁡2α+sin⁡3α2cos⁡3αcos⁡2α+cos⁡3αL = \frac{2 \sin 3\alpha \cos 2\alpha + \sin 3\alpha}{2 \cos 3\alpha \cos 2\alpha + \cos 3\alpha}

U brojiocu izvlačimo zajednički faktor sin⁡3α, \sin 3\alpha , a u imeniocu cos⁡3α. \cos 3\alpha .

L=sin⁡3α(2cos⁡2α+1)cos⁡3α(2cos⁡2α+1)L = \frac{\sin 3\alpha (2 \cos 2\alpha + 1)}{\cos 3\alpha (2 \cos 2\alpha + 1)}

Skraćujemo razlomak zajedničkim izrazom 2cos⁡2α+1, 2 \cos 2\alpha + 1 , uz uslov da je on različit od nule.

L=sin⁡3αcos⁡3αL = \frac{\sin 3\alpha}{\cos 3\alpha}

Koristeći definiciju tangensa tg x=sin⁡xcos⁡x, \text{tg } x = \frac{\sin x}{\cos x} , dobijamo krajnji rezultat.

L=tg 3αL = \text{tg } 3\alpha

Pošto je leva strana jednaka desnoj, identitet je dokazan.

tg 3α=tg 3α\text{tg } 3\alpha = \text{tg } 3\alpha