2661.

Transformacija zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod

TEKST ZADATKA

Neka su α, \alpha , β \beta i γ \gamma uglovi trougla. Dokazati sledeće relacije: 1) sin⁡α=sin⁡(β+γ) \sin \alpha = \sin (\beta + \gamma) 2) cos⁡α=−cos⁡(β+γ) \cos \alpha = -\cos (\beta + \gamma) 3) tg α=−tg (β+γ) \text{tg } \alpha = -\text{tg } (\beta + \gamma)

REŠENJE ZADATKA

Polazimo od činjenice da je zbir unutrašnjih uglova u trouglu uvek 180∘, 180^\circ , odnosno π \pi radijana.

α+β+γ=π\alpha + \beta + \gamma = \pi

Iz prethodne jednakosti možemo izraziti ugao α \alpha preko uglova β \beta i γ. \gamma .

α=π−(β+γ)\alpha = \pi - (\beta + \gamma)

Dokazujemo prvu relaciju koristeći adicionu formulu za sinus ili pravilo o suplementnim uglovima: sin⁡(π−x)=sin⁡x. \sin(\pi - x) = \sin x .

sin⁡α=sin⁡(π−(β+γ))=sin⁡(β+γ)\sin \alpha = \sin (\pi - (\beta + \gamma)) = \sin (\beta + \gamma)

Dokazujemo drugu relaciju koristeći pravilo za kosinus suplementnog ugla: cos⁡(π−x)=−cos⁡x. \cos(\pi - x) = -\cos x .

cos⁡α=cos⁡(π−(β+γ))=−cos⁡(β+γ)\cos \alpha = \cos (\pi - (\beta + \gamma)) = -\cos (\beta + \gamma)

Dokazujemo treću relaciju koristeći definiciju tangensa i prethodno dokazane identitete za sinus i kosinus.

tg α=sin⁡αcos⁡α=sin⁡(β+γ)−cos⁡(β+γ)=−tg (β+γ)\text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\sin (\beta + \gamma)}{-\cos (\beta + \gamma)} = -\text{tg } (\beta + \gamma)

Alternativno, za tangens možemo direktno primeniti osobinu periodičnosti i parnosti/neparnosti: tg(π−x)=−tg x. \text{tg}(\pi - x) = -\text{tg } x .

tg α=tg (π−(β+γ))=−tg (β+γ)\text{tg } \alpha = \text{tg } (\pi - (\beta + \gamma)) = -\text{tg } (\beta + \gamma)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti