2665.

Transformacija zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod

TEKST ZADATKA

Transformisati u proizvod: sin⁡α−cos⁡α \sin \alpha - \cos \alpha

REŠENJE ZADATKA

Da bismo primenili formule za transformaciju zbira i razlike u proizvod, potrebno je da oba člana budu iste trigonometrijske funkcije. Koristimo identitet cos⁡α=sin⁡(π2−α). \cos \alpha = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) .

sin⁡α−cos⁡α=sin⁡α−sin⁡(π2−α)\sin \alpha - \cos \alpha = \sin \alpha - \sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)

Sada primenjujemo formulu za razliku sinusa: sin⁡x−sin⁡y=2cos⁡x+y2sin⁡x−y2, \sin x - \sin y = 2 \cos \frac{x + y}{2} \sin \frac{x - y}{2} , gde je x=α x = \alpha i y=π2−α. y = \frac{\pi}{2} - \alpha .

2cos⁡α+(π2−α)2sin⁡α−(π2−α)22 \cos \frac{\alpha + (\frac{\pi}{2} - \alpha)}{2} \sin \frac{\alpha - (\frac{\pi}{2} - \alpha)}{2}

Sređujemo argumente trigonometrijskih funkcija unutar razlomaka.

2cos⁡π22sin⁡2α−π222 \cos \frac{\frac{\pi}{2}}{2} \sin \frac{2\alpha - \frac{\pi}{2}}{2}

Daljim sređivanjem dobijamo vrednosti uglova.

2cos⁡π4sin⁡(α−π4)2 \cos \frac{\pi}{4} \sin \left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right)

Znamo da je cos⁡π4=22. \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} . Zamenjujemo tu vrednost u izraz.

2⋅22sin⁡(α−π4)2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right)

Skraćivanjem broja 2 dobijamo konačan oblik proizvoda.

2sin⁡(α−π4)\sqrt{2} \sin \left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti