2664.

Transformacija zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod

TEKST ZADATKA

Dokazati identitet: cos⁡(π3−α)+sin⁡(π6−α)=cos⁡α. \cos \left( \frac{\pi}{3} - \alpha \right) + \sin \left( \frac{\pi}{6} - \alpha \right) = \cos \alpha .

REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo transformisati sinusni član u kosinusni koristeći formulu komplementarnih uglova sin⁡x=cos⁡(π2−x). \sin x = \cos \left( \frac{\pi}{2} - x \right) .

sin⁡(π6−α)=cos⁡(π2−(π6−α))\sin \left( \frac{\pi}{6} - \alpha \right) = \cos \left( \frac{\pi}{2} - \left( \frac{\pi}{6} - \alpha \right) \right)

Sredimo izraz unutar zagrade kosinusa:

π2−π6+α=3π−π6+α=2π6+α=π3+α\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + \alpha = \frac{3\pi - \pi}{6} + \alpha = \frac{2\pi}{6} + \alpha = \frac{\pi}{3} + \alpha

Sada polazni izraz na levoj strani možemo zapisati kao zbir dva kosinusa:

cos⁡(π3−α)+cos⁡(π3+α)\cos \left( \frac{\pi}{3} - \alpha \right) + \cos \left( \frac{\pi}{3} + \alpha \right)

Primenjujemo formulu za zbir kosinusa: cos⁡A+cos⁡B=2cos⁡A+B2cos⁡A−B2, \cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A + B}{2} \cos \frac{A - B}{2} , gde je A=π3−α A = \frac{\pi}{3} - \alpha i B=π3+α. B = \frac{\pi}{3} + \alpha .

2cos⁡(π3−α)+(π3+α)2cos⁡(π3−α)−(π3+α)22 \cos \frac{\left( \frac{\pi}{3} - \alpha \right) + \left( \frac{\pi}{3} + \alpha \right)}{2} \cos \frac{\left( \frac{\pi}{3} - \alpha \right) - \left( \frac{\pi}{3} + \alpha \right)}{2}

Sređujemo argumente unutar kosinusa:

2cos⁡2π32cos⁡−2α2=2cos⁡π3cos⁡(−α)2 \cos \frac{\frac{2\pi}{3}}{2} \cos \frac{-2\alpha}{2} = 2 \cos \frac{\pi}{3} \cos(-\alpha)

Koristimo činjenicu da je kosinus parna funkcija cos⁡(−α)=cos⁡α \cos(-\alpha) = \cos \alpha i uvrštavamo poznatu vrednost cos⁡π3=12: \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} :

2⋅12⋅cos⁡α=cos⁡α2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos \alpha = \cos \alpha

Dobili smo da je leva strana jednaka desnoj, čime je identitet dokazan.

cos⁡α=cos⁡α\cos \alpha = \cos \alpha

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti