2679.

Transformacija zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod

TEKST ZADATKA

Dokazati jednakosti: 4(cos⁡320∘+cos⁡340∘)=33cos⁡10∘. 4(\cos^3 20^\circ + \cos^3 40^\circ) = 3\sqrt{3} \cos 10^\circ .

REŠENJE ZADATKA

Polazimo od leve strane jednakosti. Prvo ćemo primeniti formulu za zbir kubova a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2) a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) na izraz u zagradi.

cos⁡320∘+cos⁡340∘=(cos⁡20∘+cos⁡40∘)(cos⁡220∘−cos⁡20∘cos⁡40∘+cos⁡240∘)\cos^3 20^\circ + \cos^3 40^\circ = (\cos 20^\circ + \cos 40^\circ)(\cos^2 20^\circ - \cos 20^\circ \cos 40^\circ + \cos^2 40^\circ)

Transformišimo prvi činilac cos⁡20∘+cos⁡40∘ \cos 20^\circ + \cos 40^\circ koristeći formulu za zbir kosinusa cos⁡α+cos⁡β=2cos⁡α+β2cos⁡α−β2. \cos \alpha + \cos \beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} .

cos⁡20∘+cos⁡40∘=2cos⁡20∘+40∘2cos⁡20∘−40∘2=2cos⁡30∘cos⁡(−10∘)\cos 20^\circ + \cos 40^\circ = 2\cos\frac{20^\circ+40^\circ}{2}\cos\frac{20^\circ-40^\circ}{2} = 2\cos 30^\circ \cos(-10^\circ)

Pošto je kosinus parna funkcija (cos⁡(−x)=cos⁡x \cos(-x) = \cos x ) i cos⁡30∘=32, \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} , dobijamo:

2⋅32cos⁡10∘=3cos⁡10∘2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 10^\circ = \sqrt{3}\cos 10^\circ

Sada posmatramo drugi činilac. Primenjujemo formule za polovinu ugla cos⁡2x=1+cos⁡2x2 \cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2} na kvadrate kosinusa.

cos⁡220∘+cos⁡240∘=1+cos⁡40∘2+1+cos⁡80∘2=1+12(cos⁡40∘+cos⁡80∘)\cos^2 20^\circ + \cos^2 40^\circ = \frac{1+\cos 40^\circ}{2} + \frac{1+\cos 80^\circ}{2} = 1 + \frac{1}{2}(\cos 40^\circ + \cos 80^\circ)

Za srednji član drugog činioca koristimo datu formulu za proizvod kosinusa cos⁡αcos⁡β=12(cos⁡(α+β)+cos⁡(α−β)). \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)) .

cos⁡20∘cos⁡40∘=12(cos⁡(20∘+40∘)+cos⁡(20∘−40∘))=12(cos⁡60∘+cos⁡20∘)\cos 20^\circ \cos 40^\circ = \frac{1}{2}(\cos(20^\circ + 40^\circ) + \cos(20^\circ - 40^\circ)) = \frac{1}{2}(\cos 60^\circ + \cos 20^\circ)

Zamenjujemo poznatu vrednost cos⁡60∘=12. \cos 60^\circ = \frac{1}{2} .

cos⁡20∘cos⁡40∘=12(12+cos⁡20∘)=14+12cos⁡20∘\cos 20^\circ \cos 40^\circ = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2} + \cos 20^\circ\right) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\cos 20^\circ

Vraćamo sve transformisane delove u izraz za drugi činilac.

(1+12(cos⁡40∘+cos⁡80∘))−(14+12cos⁡20∘)=34+12(cos⁡40∘+cos⁡80∘)−12cos⁡20∘\left(1 + \frac{1}{2}(\cos 40^\circ + \cos 80^\circ)\right) - \left(\frac{1}{4} + \frac{1}{2}\cos 20^\circ\right) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2}(\cos 40^\circ + \cos 80^\circ) - \frac{1}{2}\cos 20^\circ

Primenjujemo formulu za zbir kosinusa na cos⁡40∘+cos⁡80∘. \cos 40^\circ + \cos 80^\circ .

cos⁡40∘+cos⁡80∘=2cos⁡40∘+80∘2cos⁡40∘−80∘2=2cos⁡60∘cos⁡(−20∘)=2⋅12cos⁡20∘=cos⁡20∘\cos 40^\circ + \cos 80^\circ = 2\cos\frac{40^\circ+80^\circ}{2}\cos\frac{40^\circ-80^\circ}{2} = 2\cos 60^\circ \cos(-20^\circ) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cos 20^\circ = \cos 20^\circ

Zamenjujemo ovaj rezultat nazad u izraz za drugi činilac.

34+12cos⁡20∘−12cos⁡20∘=34\frac{3}{4} + \frac{1}{2}\cos 20^\circ - \frac{1}{2}\cos 20^\circ = \frac{3}{4}

Konačno, množimo sve dobijene delove sa 4, kako je zadato na početku.

4⋅(3cos⁡10∘)⋅34=33cos⁡10∘4 \cdot (\sqrt{3}\cos 10^\circ) \cdot \frac{3}{4} = 3\sqrt{3}\cos 10^\circ

Dobili smo izraz koji je jednak desnoj strani početne jednakosti, čime je dokaz završen.

33cos⁡10∘=33cos⁡10∘3\sqrt{3}\cos 10^\circ = 3\sqrt{3}\cos 10^\circ

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti