2678.

Transformacija zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod

TEKST ZADATKA

Dokazati jednakosti: cos⁡(54∘−α)−cos⁡(18∘−α)−cos⁡(54∘+α)+cos⁡(18∘+α)=sin⁡α \cos(54^\circ - \alpha) - \cos(18^\circ - \alpha) - \cos(54^\circ + \alpha) + \cos(18^\circ + \alpha) = \sin \alpha ;

REŠENJE ZADATKA

Grupišemo članove na levoj strani jednakosti kako bismo primenili odgovarajuće trigonometrijske formule.

cos⁡(54∘−α)−cos⁡(54∘+α)−(cos⁡(18∘−α)−cos⁡(18∘+α))\cos(54^\circ - \alpha) - \cos(54^\circ + \alpha) - (\cos(18^\circ - \alpha) - \cos(18^\circ + \alpha))

Na osnovu formule sin⁡xsin⁡y=12(cos⁡(x−y)−cos⁡(x+y)), \sin x \sin y = \frac{1}{2}(\cos(x - y) - \cos(x + y)) , množenjem sa 2 dobijamo cos⁡(x−y)−cos⁡(x+y)=2sin⁡xsin⁡y. \cos(x - y) - \cos(x + y) = 2 \sin x \sin y . Primenjujemo ovo na obe grupe.

2sin⁡54∘sin⁡α−2sin⁡18∘sin⁡α2 \sin 54^\circ \sin \alpha - 2 \sin 18^\circ \sin \alpha

Izvlačimo zajednički faktor 2sin⁡α 2 \sin \alpha ispred zagrade.

2sin⁡α(sin⁡54∘−sin⁡18∘)2 \sin \alpha (\sin 54^\circ - \sin 18^\circ)

Sada transformišemo izraz u zagradi sin⁡54∘−sin⁡18∘ \sin 54^\circ - \sin 18^\circ koristeći formulu za razliku sinusa: sin⁡x−sin⁡y=2sin⁡x−y2cos⁡x+y2. \sin x - \sin y = 2 \sin\frac{x-y}{2} \cos\frac{x+y}{2} .

sin⁡54∘−sin⁡18∘=2sin⁡(54∘−18∘2)cos⁡(54∘+18∘2)=2sin⁡18∘cos⁡36∘\sin 54^\circ - \sin 18^\circ = 2 \sin\left(\frac{54^\circ - 18^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{54^\circ + 18^\circ}{2}\right) = 2 \sin 18^\circ \cos 36^\circ

Da bismo odredili vrednost ovog proizvoda, množimo i delimo izraz sa cos⁡18∘. \cos 18^\circ .

2sin⁡18∘cos⁡36∘=2sin⁡18∘cos⁡18∘cos⁡36∘cos⁡18∘2 \sin 18^\circ \cos 36^\circ = \frac{2 \sin 18^\circ \cos 18^\circ \cos 36^\circ}{\cos 18^\circ}

Primenjujemo formulu za sinus dvostrukog ugla 2sin⁡xcos⁡x=sin⁡2x 2 \sin x \cos x = \sin 2x na deo brojioca.

sin⁡36∘cos⁡36∘cos⁡18∘\frac{\sin 36^\circ \cos 36^\circ}{\cos 18^\circ}

Množimo i delimo brojilac sa 2 kako bismo ponovo primenili formulu za sinus dvostrukog ugla.

12⋅2sin⁡36∘cos⁡36∘cos⁡18∘=12sin⁡72∘cos⁡18∘\frac{\frac{1}{2} \cdot 2 \sin 36^\circ \cos 36^\circ}{\cos 18^\circ} = \frac{\frac{1}{2} \sin 72^\circ}{\cos 18^\circ}

Koristimo osobinu komplementarnih uglova sin⁡(90∘−x)=cos⁡x \sin(90^\circ - x) = \cos x da zamenimo sin⁡72∘ \sin 72^\circ sa cos⁡18∘ \cos 18^\circ i skratimo razlomak.

12cos⁡18∘cos⁡18∘=12\frac{\frac{1}{2} \cos 18^\circ}{\cos 18^\circ} = \frac{1}{2}

Vraćamo dobijenu vrednost nazad u izraz iz kog smo izvukli zajednički faktor.

2sin⁡α⋅12=sin⁡α2 \sin \alpha \cdot \frac{1}{2} = \sin \alpha

Sređivanjem izraza dobijamo desnu stranu jednakosti, čime je dokaz završen.

sin⁡α=sin⁡α\sin \alpha = \sin \alpha

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti