2693.

Transformacija zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod

TEKST ZADATKA

Dokazati da je α+2β=π4, \alpha + 2\beta = \frac{\pi}{4} , ako je tg α=17∧sin⁡β=110∧α∈(0,π2)∧β∈(0,π2). \text{tg } \alpha = \frac{1}{7} \land \sin \beta = \frac{1}{\sqrt{10}} \land \alpha \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) \land \beta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) .

REŠENJE ZADATKA

Pošto je β∈(0,π2), \beta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) , kosinus je pozitivan. Računamo cos⁡β: \cos \beta :

cos⁡β=1−sin⁡2β=1−(110)2=1−110=910=310\cos \beta = \sqrt{1 - \sin^2 \beta} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{10}} = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}

Sada računamo tg β: \text{tg } \beta :

tg β=sin⁡βcos⁡β=110310=13\text{tg } \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = \frac{\frac{1}{\sqrt{10}}}{\frac{3}{\sqrt{10}}} = \frac{1}{3}

Koristeći formulu za tangens dvostrukog ugla, računamo tg(2β): \text{tg}(2\beta) :

tg(2β)=2tg β1−tg2β=2⋅131−(13)2=231−19=2389=34\text{tg}(2\beta) = \frac{2\text{tg } \beta}{1 - \text{tg}^2 \beta} = \frac{2 \cdot \frac{1}{3}}{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{1}{9}} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{8}{9}} = \frac{3}{4}

Zatim računamo tangens zbira uglova α \alpha i 2β: 2\beta :

tg(α+2β)=tg α+tg(2β)1−tg α⋅tg(2β)=17+341−17⋅34=4+21281−328=25282528=1\text{tg}(\alpha + 2\beta) = \frac{\text{tg } \alpha + \text{tg}(2\beta)}{1 - \text{tg } \alpha \cdot \text{tg}(2\beta)} = \frac{\frac{1}{7} + \frac{3}{4}}{1 - \frac{1}{7} \cdot \frac{3}{4}} = \frac{\frac{4 + 21}{28}}{1 - \frac{3}{28}} = \frac{\frac{25}{28}}{\frac{25}{28}} = 1

Analiziramo interval u kojem se nalazi ugao α+2β. \alpha + 2\beta . Kako su tg α=17<1 \text{tg } \alpha = \frac{1}{7} < 1 i tg β=13<1, \text{tg } \beta = \frac{1}{3} < 1 , a uglovi su u prvom kvadrantu, sledi da su α<π4 \alpha < \frac{\pi}{4} i β<π4. \beta < \frac{\pi}{4} .

0<α+2β<π4+2⋅π4=3π40 < \alpha + 2\beta < \frac{\pi}{4} + 2 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}

Pošto je tg(α+2β)=1 \text{tg}(\alpha + 2\beta) = 1 i ugao pripada intervalu (0,3π4), \left(0, \frac{3\pi}{4}\right) , jedino moguće rešenje je traženi ugao, čime je dokaz završen.

α+2β=π4\alpha + 2\beta = \frac{\pi}{4}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti