2694.

Transformacija zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod

TEKST ZADATKA

Dokazati identitete:

1+sin⁡x=2cos⁡2(π4−x2)1 + \sin x = 2 \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right)
REŠENJE ZADATKA

Polazimo od desne strane jednakosti. Izraz cos⁡2(π4−x2) \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right) možemo zapisati kao proizvod dva ista kosinusa.

2cos⁡2(π4−x2)=2cos⁡(π4−x2)cos⁡(π4−x2)2 \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right) = 2 \cos \left( \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right) \cos \left( \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right)

Primenjujemo formulu za pretvaranje proizvoda kosinusa u zbir: cos⁡αcos⁡β=12(cos⁡(α+β)+cos⁡(α−β)), \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)) , gde je α=β=π4−x2. \alpha = \beta = \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} .

2⋅12(cos⁡((π4−x2)+(π4−x2))+cos⁡((π4−x2)−(π4−x2)))2 \cdot \frac{1}{2} \left( \cos \left( \left( \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right) + \left( \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right) \right) + \cos \left( \left( \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right) - \left( \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right) \right) \right)

Računamo zbir i razliku uglova unutar kosinusa i kratimo dvojke ispred zagrade.

cos⁡(2π4−2x2)+cos⁡(0)=cos⁡(π2−x)+cos⁡(0)\cos \left( \frac{2\pi}{4} - \frac{2x}{2} \right) + \cos(0) = \cos \left( \frac{\pi}{2} - x \right) + \cos(0)

Koristimo poznate vrednosti i trigonometrijske veze za komplementarne uglove: cos⁡(0)=1 \cos(0) = 1 i cos⁡(π2−x)=sin⁡x. \cos \left( \frac{\pi}{2} - x \right) = \sin x .

sin⁡x+1\sin x + 1

Preuređivanjem sabiraka dobijamo levu stranu početne jednakosti, čime je dokaz završen.

1+sin⁡x1 + \sin x

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti