2696.

775.d

TEKST ZADATKA

Dokazati jednakost:

sin⁡3α(1+ctg α)+cos⁡3α(1+tg α)=2cos⁡(π4−α)\sin^3 \alpha(1 + \text{ctg } \alpha) + \cos^3 \alpha(1 + \text{tg } \alpha) = \sqrt{2} \cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)
REŠENJE ZADATKA

Polazimo od leve strane jednakosti. Zapisujemo kotangens i tangens preko sinusa i kosinusa:

sin⁡3α(1+cos⁡αsin⁡α)+cos⁡3α(1+sin⁡αcos⁡α)\sin^3 \alpha \left(1 + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\right) + \cos^3 \alpha \left(1 + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\right)

Množimo izraze u zagradama sa odgovarajućim faktorima ispred njih:

sin⁡3α+sin⁡2αcos⁡α+cos⁡3α+cos⁡2αsin⁡α\sin^3 \alpha + \sin^2 \alpha \cos \alpha + \cos^3 \alpha + \cos^2 \alpha \sin \alpha

Grupišemo prvi i drugi, kao i treći i četvrti sabirak, i izvlačimo zajedničke faktore:

sin⁡2α(sin⁡α+cos⁡α)+cos⁡2α(cos⁡α+sin⁡α)\sin^2 \alpha (\sin \alpha + \cos \alpha) + \cos^2 \alpha (\cos \alpha + \sin \alpha)

Sada izvlačimo zajednički faktor sin⁡α+cos⁡α \sin \alpha + \cos \alpha ispred zagrade:

(sin⁡α+cos⁡α)(sin⁡2α+cos⁡2α)(\sin \alpha + \cos \alpha)(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)

Primenjujemo osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2α+cos⁡2α=1: \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 :

sin⁡α+cos⁡α\sin \alpha + \cos \alpha

Da bismo dobili traženi izraz na desnoj strani, množimo i delimo dobijeni zbir sa 2: \sqrt{2} :

2(22sin⁡α+22cos⁡α)\sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \alpha + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos \alpha \right)

Zamenjujemo vrednost 22 \frac{\sqrt{2}}{2} sa odgovarajućim trigonometrijskim funkcijama ugla π4: \frac{\pi}{4} :

2(sin⁡π4sin⁡α+cos⁡π4cos⁡α)\sqrt{2} \left( \sin \frac{\pi}{4} \sin \alpha + \cos \frac{\pi}{4} \cos \alpha \right)

Primenjujemo adicionu formulu za kosinus razlike cos⁡(x−y)=cos⁡xcos⁡y+sin⁡xsin⁡y: \cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y :

2cos⁡(π4−α)\sqrt{2} \cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)

Dobili smo desnu stranu jednakosti, čime je dokaz završen.

sin⁡3α(1+ctg α)+cos⁡3α(1+tg α)=2cos⁡(π4−α)\sin^3 \alpha(1 + \text{ctg } \alpha) + \cos^3 \alpha(1 + \text{tg } \alpha) = \sqrt{2} \cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)